11.2. Деформация нормального элемента

Введем в рассмотрение тензор (см. параграф 10.3)

связанный с кривой на (материальной) срединной поверхности и обладающий очевидным свойством

Тензор переводит тройку ортов определяющих нормальное сечение недеформированной оболочки (рис. 11.1), в тройку ортов связанных с тем же (материальным) нормальным сечением, но уже в деформированной оболочке. Поэтому тензор является ортогональным (см. параграф 1.4). Его уместно называть тензором поворота нормального элемента. Нормальный элемент, в частности, может быть и граничным. Из (11.15) следует также

Рис. 11.1

Естественным путем введем тензор изменения кривизны нормального элемента

Если ввести кратность удлинения срединной линии нормального элемента

и учесть, что

то с помощью соотношений (11.15), (10.50) и (11.16), (11.17) найдем

где

Выписанному в первой строке (11.21) кососимметричному тензору отвечает кососимметричная матрица

и согласно (1.44), (1.45) векторы

имеющие одинаковые компоненты, связаны [см. (11.16) и соотношениями

их можно назвать векторами изменения кривизны нормального сечения.

Применяя формулы (10.46), (10.48), (10.26) к недеформированной и деформированной поверхностям, получаем с учетом (11.20)

т. е.

Далее

Умножение этого разложения самого на себя дает

Используя теперь формулы (11.22), (11.24), (10.51), (11.7), находим

Пусть рассмотренный нормальный элемент является граничным. Вернемся к выражениям (11.1). Коль скоро величины определены деформацией срединной поверхности [например, по формулам (11.11)], геометрические граничные условия сводятся к заданию двух векторов

Далее по (11.20) и (10.46)

Поэтому в качестве второго варианта граничных условий можно принять задание величин При этом известным является и вектор Согласно (11.16) эти три орта можно считать известными, если задан тензор поворота Наконец, соотношения (11.18), (11.21), (11.23) показывают, что можно задать Последнюю векторную величину можно заменить тензорной

Таким образом, имеют место следующие три варианта геометрических граничных условий:

Первый вариант является чисто геометрическим — в нем задается конфигурация граничного элемента после деформации. Третий можно назвать деформационным [58], поскольку согласно (11.25) и (11.26) входящие в него величины определяются через характеристики деформации срединной поверхности. Второй вариант является промежуточным — в него входят деформационная величина и неявно содержащиеся в углы поворота.

Отметим, что наиболее важным вариантом деформационных граничных условий является условие жесткого края

отличающееся от условия заделки краев (если их несколько, в многосвязной области)

лишь смещением краев как жестких целых.

Рис. 11.2