17.8. Ортотропный материал (линейный случай)

Как уже было сказано в параграфе 17.1, ортотропный материал в отношении упругих свойств «ведет себя» как кристаллы ромбической сингонии. Поэтому из третьей матрицы (17.11) и соотношений (17.10), (17.23)-(17.25) следуют две формы записи закона Гука и выражение для упругого потенциала

(см. скан)

При этом сопоставление соотношений (17.40) и (17.41) дает

Согласно (17.22) положительность упругого потенциала обеспечивается соотношениями

Последние зависимости можно заменить неравенствами

Аналогичные ограничения имеют место и для

Для несжимаемого материала согласно (17.29), (17.31)

причем

С учетом этих связей находим из

Таким образом, для несжимаемого ортотрошюго материала имеем шесть независимых упругих постоянных. При этом

Нетрудно проверить, что закону Гука (17.42) можно придать и симметричную форму:

Здесь произвольная функция, - а коэффициенты могут фиксироваться произвольным образом.

Для плоского напряженного состояния имеем согласно

В приведенных соотношениях только четыре упругие постоянные. При этом

Согласно же (17.33)

Отсюда видно, что при определении необходимо знать уже семь постоянных.

Наконец, из (17.42) и (17.32) находим для несжимаемого материала в плоском напряженном состоянии

При этом

Соотношения (17.45) по существу не отличаются от (17.43). Различие состоит лишь в том, что и необходимо знать лишь четыре упругие постоянные. Как видно из

(17.44), при поперечном модуле того же порядка, что и является малой того же порядка, что и Пренебрежение ею устраняет по существу различие между сжимаемым и несжимаемым материалами. Если же значительно меньше (как, например, в пластине с мягким заполнителем), пренебречь величиной уже нельзя.