6.4. Закон упругости

Рассмотрим первую энергетическую пару в таблице (2.45)

связанную градиентальной зависимостью (3.25). Из последней, а также из выражений (6.61) и (6.48), записанных для тензора получаем искомый закон упругости для сжимаемого материала

Для несжимаемого же материала согласно (3.27) следует провести замену -

или с учетом (6.61), (6.43), (6.45)

Таким образом, для несжимаемого материала

Заметим, что полученные законы справедливы для любого анизотропного материала.

Нетрудно видеть, что где алгебраическое дополнение элемента в определителе Соотношение (6.16) свидетельствует о том, что приведенное алгебраическое дополнение, т. е. Сопоставление этого выражения с предыдущим дает

Рассмотрим величины [см. (6.47)]

С помощью соотношений (6.14) можно убедиться, что выписанные величины — инварианты. Будем считать материальные координаты ортогональными в недеформированной конфигурации. Тогда с учетом (6.16) имеем

Обозначим через [см. (6.42)]

физические компоненты тензора С относительно материальных координатных осей в недеформированной конфигурации. С учетом соотношений (6.64), (6.66) и (6.67) инварианты (6.65) принимают вид

Сопоставление полученных выражений с (1.11) и (6.47) показывает, что величины (6.65) — главные инварианты тензора деформации Коши-Лагранжа С, записанные через его физические компоненты в криволинейных материальных координатах.

Получим несколько необходимых в дальнейшем соотношений. Согласно (6.65) и (6.21)

Отсюда с учетом (6.21) находим

Используя следующие из (6.21) и (6.65) соотношения

легко проверяемое тождество

и формулы (6.64), (6.16), получаем

Подстановка сюда выражения дает

Из соотношений (6.64), (6.65), (6.69) и формул (6.70) следует

Наконец, по (6.65)

При помощи соотношений (6.69), (6.74) и (6.75) получаем из (6.62) следующую форму записи закона упругости для сжимаемого изотропного материала:

В частном случае стандартного материала второго порядка [см. (3.44), (6.62)]

Для несжимаемого изотропного материала находим из (6.63)

В частности, для неогуковского закона (5.3)

Из (6.62), (6.63) и основных соотношений этого параграфа следует, что для перехода от сжимаемого материала к несжимаемому следует использовать замены