Глава 10. ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
В этой главе дается краткое систематическое изложение основ теории кривых и поверхностей, необходимых для понимания последующих глав. Для более полного ознакомления с предметом главы рекомендуем книги [26; 58, ч. II].
10.1. Геометрия кривой. Тонкий стержень
Пространственную кривую зададим уравнением
где
длина кривой, отсчитываемая от некоторой ее точки. Пусть
некоторая совокупность (базис) связанных с кривой ортов, так что
Дифференцируя орты по дуге кривой и учитывая, что в силу условий ортонормированности
приходим к формулам
связанного с кривой нормального триэдра ортов, пространственные кривизну и кручение. Помимо описанного нормального триэдра в параграфе 10.3 будет рассмотрен триэдр ортов, связанный с лежащей на поверхности кривой.
Возвращаясь к общему триэдру (10.1), рассмотрим стержень осью которого является упомянутая кривая. Произвольной точке стержня отвечает радиус-вектор
Здесь
определяет ортогональное оси сечение стержня, с прямоугольными декартовыми координатами
С учетом (10.3)-(10.4) подсчитываем координатные векторы стержня:
В дальнейшем будем рассматривать лишь тонкие стержни сплошного сечения, для которых радиусы кривизны оси значительно превосходят размеры поперечного сечения. Таким образом, для тонкого стержня