Глава 10. ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ

В этой главе дается краткое систематическое изложение основ теории кривых и поверхностей, необходимых для понимания последующих глав. Для более полного ознакомления с предметом главы рекомендуем книги [26; 58, ч. II].

10.1. Геометрия кривой. Тонкий стержень

Пространственную кривую зададим уравнением

где длина кривой, отсчитываемая от некоторой ее точки. Пусть

некоторая совокупность (базис) связанных с кривой ортов, так что

Дифференцируя орты по дуге кривой и учитывая, что в силу условий ортонормированности

приходим к формулам

Примем в качестве третьего орта

единичный вектор касательной к кривой, а в качестве первого единичный вектор главной нормали, лежащий в соприкасающейся с кривой плоскости и ортогональный к (рис. 10.1). Тогда второй вектор так называемый единичный вектор бинормали — определяется равенством

Рис. 10.1

Для выбранной системы ортов зави симости (10.3) переходят в известные формулы Серре-Френе:

Здесь пространственная кривизна кривой. Поскольку орт главной нормали всегда направлен в сторону вогнутости кривой, Точки кривой, в которых называют точками распрямления, поскольку для прямой и по В точках распрямления направление главной нормали не определено. Величину называют пространственным кручением кривой, поскольку она характеризует кручение соприкасающейся плоскости вокруг касательной при движении вдоль кривой. Для плоской кривой и по т. е. кручение отсутствует. Напомним, что

Представляя радиус-вектор точки кривой его разложением по ортам пространственной прямоугольной декартовой системы координат

получаем, используя соотношения и вводя обозначение

Выписанные соотношения дают возможность при известном параметрическом задании кривой (10.7) подсчитать компоненты

связанного с кривой нормального триэдра ортов, пространственные кривизну и кручение. Помимо описанного нормального триэдра в параграфе 10.3 будет рассмотрен триэдр ортов, связанный с лежащей на поверхности кривой.

Возвращаясь к общему триэдру (10.1), рассмотрим стержень осью которого является упомянутая кривая. Произвольной точке стержня отвечает радиус-вектор

Здесь определяет ортогональное оси сечение стержня, с прямоугольными декартовыми координатами С учетом (10.3)-(10.4) подсчитываем координатные векторы стержня:

В дальнейшем будем рассматривать лишь тонкие стержни сплошного сечения, для которых радиусы кривизны оси значительно превосходят размеры поперечного сечения. Таким образом, для тонкого стержня