16.3. Эластика Эйлера

Рассмотрим деформируемый в плоскости стержень, шарнирно опертые концы которого сближаются под действием сжимающих сил (рис. 16.1). Стержень считаем первоначально прямым и свободным от распределенной нагрузки При этом имеем согласно (16.1), (16.6) и (16.4)

Рис. 16.1

Пренебрегая растяжением оси стержня, считаем чисто статическими величинами.

Из первых двух уравнений в (16.12) и из рис. 16.1 усматриваем

Теперь с учетом (16.13) третье уравнение записывается в виде

где введено обозначение

Согласно выражению (16.13) условия шарнирного опирания (отсутствия изгибающих моментов на концах стержня) записываются следующим образом:

Наконец, для смещений концов стержня имеют место очевидные условия

Вернемся к разрешающему уравнению (16.16). Умножая его на и интегрируя от до получаем

поскольку

Из равенства (16.20) и следующего за ним вытекает (это же усматривается и из рис. 16.1), так что законна замена переменных

откуда следует также

Подставляя полученные выражения в (16.21) и вводя обозначение

находим

Значению отвечает и по Интегрируя равенство (16.24) от до и выбирая в нем знак минус (дуга положительная величина), получаем

Эллиптический интеграл Якоби первого рода

является табулированной функцией [1]. С его помощью предыдущее равенство принимает вид

При (см. рис. 16.1) и согласно Поэтому

Далее согласно (16.14), (16.22), (16.24)

Интегрирование этих выражений с учетом концевых условий (16.19) приводит к следующему параметрическому заданию оси стержня:

к так называемой эластике Эйлера [33]. Здесь

эллиптический интеграл второго рода — также табулированная функция.

Вернемся к равенству (16.25). Оно согласно (16.17) и (16.23) устанавливает связь между сжимающей силой и углом поворота на конце стержня Нетрудно видеть что левая часть равенства (16.25) не может быть меньше Поэтому, коль скоро равенство (16.25) нарушается, и, стало быть, рассматриваемая изогнутая форма равновесия оси стержня существовать не может. Имеется лишь исходная прямолинейная форма равновесия очевидно удовлетворяющая однородной задаче (16.12)-(16.19) при любом значении

Изогнутая форма равновесия становится возможной, коль скоро т. е. согласно (16.17) при достижении сжимающей силой критического значения — так называемой первой эйлеровой силой

При критическом значении сжимающей силы возможно существование двух форм равновесия: прямолинейной и изогнутой. Такие точки ветвления решения называют точками бифуркации решения. Какую же из двух возможных конфигураций «изберет» стержень при этот вопрос рассмотренный метод непосредственного интегрирования нелинейного уравнения ответа не дает. Более или менее интуитивно ясно, что при стержень изогнется. При увеличении прогиб растет довольно быстро.