16.15. Единственность и бифуркация решения линеаризованной задачи

Выявим условие единственности решения линеаризованной задачи (6.95). Пусть имеются два решения этой задачи: Обозначая находим, что рассматриваемой разности решений отвечает однородная задача (6.95) при При этом согласно первому соотношению (6.99) выполняется интегральное равенство

Сопоставление полученного равенства с неравенством (16.97) [см. также (6.96)] показывает, что выражения в левых частях

совпадают при коль скоро в качестве принят вектор разности и (являющийся, очевидно, геометрически допустимой функцией). Поскольку энергетический критерий (16.97) должен выполняться при любой геометрически допустимой вариации, из сказанного следует, что при выполнении критерия (16.97), т. е. при устойчивом равновесии, и решение линеаризованной задачи (6.95) единственно.

Хорошо известно, что при малых внешних нагрузках (описываемых линейной теорией упругости) равновесные конфигурации тела устойчивы. В шестимериом пространстве деформаций они занимают некоторую область, содержащую недеформированную конфигурацию. Точки предельной поверхности этой области устойчивости, отвечающие равенству

хотя бы при одном значении будем называть (следуя Р. Хиллу [79]) равновесными конфигурациями на пределе устойчивости.

Из сказанного вытекает, что неоднозначность возмущения равновесной конфигурации может появиться лишь на пределе устойчивости. При этом отвечающая (6,95) однородная краевая задача имеет нетривиальные собственные решения лишь при определенных (собственных) значениях входящих в нее параметров внешних нагрузок — при критических нагрузках. Собственные решения задачи (6.95) уместно называть собственными возмущениями конфигурации тела. Появление собственных возмущений означает пересечение в рассматриваемой точке (конфигурации) различных решений, т. е. бифуркацию решений.