17.4. Пределы изменяемости компонент положительно-определенной симметричной матрицы

Рассмотрим для определенности квадратную симметричную матрицу шестого порядка Согласно известному критерию Сильвестра необходимым условием положительной определенности симметричной матрицы является положительность всех главных миноров ее определителя. В частности, Используя эти неравенства, введем обозначения

при помощи которых симметричной матрице можно придать вид

Наряду с 7 рассмотрим вспомогательную матрицу

Используем обычную [12] запись минора, полученного из определителя матрицы (17.18) путем вычеркивания первых строк, столбцов и последних строк, столбцов. При указанном вычеркивании образуется минор порядка с элементом в правом верхнем углу. Если через обозначить аналогичный минор для матрицы , то нетрудно убедиться в справедливости следующего тождества:

Будем последовательно рассматривать элементы, расположенные на первой наддиагонали на второй предполагая на каждом шагу, что элементы предыдущих нзддиагоналей известны. Используем положительность главных миноров. При этом из (17.19) и положительности следует возможность ограничиться рассмотрением матрицы (17.18). Прежде всего

где

Требование положительности минора (17.20) приводит к следующим выражениям для элементов наддиагонали:

Используемый критерий Сильвестра является, как известно, и достаточным. Так что изменение величин в найденных для них пределах гарантирует положительную определенность матрицы.

Отыскание возможно более тесных границ изменения элементов положительно определенной матрицы было предметом многих работ. По-видимому, наиболее полным и интересным является исследование П. Бехтерева [6]. По его терминологии найденные выше интервалы изменения элементов — наитеснейшие (неулуч-шаемые) [6, ч. I, стр. 81].

Элементы двух первых наддиагоналей имеют следующие компактные представления:

Отсюда видно, что при нашем подходе интервалы изменения элементов, принадлежащих рассматриваемой наддиагонали, зависят от «наполненности» интервалов (ниш), установленных для элементов предшествующих наддиагоналей.