14.5. Зоны сжатия

Рассмотрим зону сжатия мягкой оболочки, считая поверхностной нагрузкой равномерное нормальное давление Из соотношений (14.11) видно, что для положительности нормальных усилий необходима и достаточна положительность главных усилий. Из сказанного в параграфе 14.3 следует, что в зонах сжатия

или

Рассмотрим зону сжатия, принимая в качестве координатных линии главных усилий, так что в выражениях и по (14.19), (14.3)

Второе из уравнений (14.21) дает

Согласно равенствам (10.78) это означает, что первая координатная линия геодезическая. Из первого и третьего уравнений (14.21) находим

Еще три уравнения дают соотношения Кодацци-Гаусса (10.79), записываемые с учетом (14.22) и (14.236) в виде

Четыре уравнения (14.236), (14.24) позволяют найти четыре величины определяющие срединную поверхность сжатой зоны с точностью до ее положения в пространстве. Величина входит в выписанные уравнения «несущественным» образом. Можно, например, положить

где длина дуги геодезической.

Для определения геометрии недеформированной срединной поверхности используем соотношения из параграфа 14.4. Так, согласно (14.15), (14.23) и (10.63)

и, поскольку из соотношений (14.17) следует Таким образом, материальные координаты являются главными (и ортогональными) для тензора деформации срединной поверхности. При этом согласно равенствам (10.63)

Введем главные кратности удлинений [см. (11.85)]

и инварианты (14.5), определяемые из системы уравнений (14.16а), (14.166), (14.25), (14.17):

Для неогуковского материала [см. (11.82)]

Исключая отсюда приходим к уравнению для определения В:

Рассмотрим случай, когда главные координатные линии являются и линиями кривизны. При этом [см. (10.74)] и уравнения (14.26) принимают вид

Из второго соотношения следует

Подстановка его в оставшиеся два уравнения дает

Из первого уравнения, а также из (14.27) и (14.236) следует

Исключая из вторых выражений в (14.28) и приходим к определяющему уравнению

Рассмотрим частный случай при котором согласно (14.29) и (14.30)

Таким образом, круговыми в рассмотренном нами случае геодезические линии могут быть лишь на круговом цилиндре.

Возвращаясь к общему случаю линий кривизны и принимая обозначение (14.31а), имеем

При этом произвольные функции, произвольная постоянная, а решение уравнения