Глава 11. ТОНКИЕ ОБОЛОЧКИ

В этой главе излагается предложенная в работе [60] общая нелинейная теория тонких упругих оболочек, предназначенная главным образом для расчета оболочек из эластомеров (резино-подобных материалов).

11.1. Деформация оболочки

Радиусы-векторы материальной точки оболочки до и после деформации представим выражениями

Здесь радиусы-векторы проекции материальной точки на срединную деформации) материальную поверхность, единичные векторы нормалей к последней. Как выяснится ниже, и характеризуют растяжение нормального к срединной поверхности материального волокна.

Используя формулы (10.14), (10.30), (6.5), (6.9), подсчитываем, удерживая лишь члены, линейные по

Соотношения (11.1) являются математической записью модифицированной геометрической гипотезы Кирхгофа: материальное волокно, нормальное к материальной срединной поверхности до деформации, остается нормальным к ней и после деформации, удлиняясь по линейному закону.

Последняя часть утверждения следует из выражения [см. (11.5)]. Связь параметров с основными компонентами деформации будет установлена ниже.

Используя соотношения (6.65), (11.4), (11.5), находим следующие выражения для главных инвариантов:

С учетом соотношений (10.24) введем симметричные величины

Далее согласно (10.20), (10.21)

Вводя теперь инварианты срединной поверхности

запишем с учетом выражений (11.7)-(11.9) зависимости (11.6) в виде

Из последнего выражения следует, в частности, что условие несжимаемости материала записывается в виде

Выясним геометрический смысл величин (11.7). Согласно (11.4), (11.5) и (11.7)

В силу соотношений (10.13) для тонких оболочек подчеркнутые члены малы по сравнению с входящими в первую скобку правой части. Опуская их, видим, что члены (ац—ац) определяют равномерную по толщине оболочки (так называемую тангенциальную) деформацию, а деформацию, меняющуюся линейно по толщине (изгибную). Таким образом, величины (11.7) — (ко-вариантные) компоненты тензора изгибных деформаций.

С учетом тонкостенности оболочки примем выражения (11.4) в следующем упрощенном виде:

Нетрудно проверить, что предложенные упрощенные выражения не изменяют величин главных инвариантов (11.10), а значит, и определяемой последними энергии деформации (упругого потенциала).

Существенно, что в выражения (11.10) и, стало быть, в упругий потенциал не входят величины такчто

Согласно (11.1) нормаль к срединной поверхности пересекает лицевые поверхности в точках

Отсюда следует, что толщина деформированной оболочки связана с толщиной недеформированной оболочки соотношением