11.7. Соотношения в главных осях

Рассмотрим деформацию оболочки, при которой материальная система координат, ортогональная на недеформированной срединной поверхности, остается такой и на деформированной. При этом согласно (10.63), (10.21), (2.9)

главные кратности удлинений.

Имея в виду рассматриваемые ниже приложения, будем считать, что координатные оси являются главными осями кривизны и тензора изгибной деформации. При этом согласно (11.84), (11.7), (10.40)-(10.43), (10.68), (10.71) получаем

И аналогичные формулы с кружочками. Согласно формулам (10.31), (11.83) и (11.84) отличны от нуля

Согласно соотношениям (11.9) и (11.83), (11.84)

Теперь из соотношений (11.56), (11.83), (11.90), (11.84), (11.51) получаем уравнения движения

Из соотношений (11.84), (11.51), (11.87), (11.36) находим

Теперь для сжимаемого материала имеем по (11.69) и (11.83)

При этом по (11.67) определяется из уравнения

Если с учетом (11.84) ввести

физические модули упругости, отнесенные по первому индексу к недеформированной материальной системе координат, а по остальным к деформированной, то с учетом (11.93) и (11.86) соотношения (11.70) приводятся к виду

Для несжимаемого материала имеем по (11.72), (11.73), (11.84)

Для изотропного несжимаемого трехконстантного материала (5.29) имеем

Нетрудно видеть, что подчеркнутые члены малы, поскольку в выражения для моментов они входят с множителями порядка в то время как эти же самые члены входят в усилия

со значительно меньшим множителем порядка Опуская выявленные малые члены, получаем

Согласно же (11.79), (11.91), (11.50), (3.35) имеем для стандартного материала второго порядка

Если ввести физические компоненты напряжений

то согласно (11.39), (11.51), (11.91)

где, напомним,