16.9. Условия применимости статического подхода

Выявим условия, при выполнении которых к задаче о потере устойчивости стержня применим статический подход. Все рассмотренные выше задачи содержатся в дифференциальном уравнении

интегрируемом при соответствующих концевых условиях.

Пусть — две произвольные гладкие функции, удовлетворяющие концевым условиям рассматриваемой задачи. Задача называется самосопряженной, если обращается в нуль выражение

Подставляя сюда выражения для и интегрируя по частям, получаем

При где перерезывающая сила, а угол поворота. С учетом приведенных выражений (16.69а) можно записать в виде

Нетрудно видеть, что выписанное соотношение является законом взаимности Бетти [40] для концевых сил. Оно же является [8] условием потенциальности концевых сил.

Считая задачу самосопряженной, рассмотрим отвечающее (16.67) уравнение поперечных колебаний

Ищем его решение в виде

где некоторое частное решение уравнения (16.70). Подстановка выражения (16.71) в (16.70) приводит к уравнению

Умножим его на комплексно сопряженную величину и проинтегрируем по В результате имеем

В силу условия самосопряженности задачи [см. (16.68)] при второй интеграл равен нулю и — вещественное число.

Согласно (16.71) переходу от устойчивого состояния к неустойчивому отвечает переход от положительных к отрицательным. В силу непрерывной зависимости от моменту потери устойчивости отвечает При этом уравнение (16.70) переходит в (16.67) и потеря устойчивости происходит статическим (дивергентным) путем с монотонно увеличивающейся амплитудой прогиба

Таким образом, при консервативных (потенциальных) внешних силах возможно использование статического подхода. Отвечающее этому случаю типичное поведение собственных частот показано на рис. 16.8, а. Кружочками показаны отвечающие собственные частоты ненагруженного стержня. При возрастании х частоты движутся, как показано стрелками, проходя при через нуль, что и отвечает потере устойчивости статическим путем.

Потере устойчивости динамическим путем отвечает рис. 16.8, б. В этом случае нарастание амплитуды прогиба имеет колебательный характер. При неконсервативных внешних силах возможны оба

типа потери устойчивости. Ясно, что в случае динамической потери устойчивости статический подход неприменим.

Вернемся к рассмотренным в предыдущих параграфах случаям. Во всех из них, кроме рассмотренного в параграфе 16.8, условия самосопряженности (16.696) выполняются и статический подход применим. Для рассмотренной в параграфе 16.8 следящей силы имели место концевые условия

И из условия (16.69а) следует равенство

не удовлетворяющееся при произвольных подчиненных концевым условиям (16.72). Как было выяснено в параграфе 16.8, неконсервативность концевых сил отвечает в данном случае колебательной форме потери устойчивости и неприменимости статического подхода.