6.5. Вариационное начало Лагранжа
Вариационным началом (уравнением) Лагранжа назовем следующее интегральное равенство:
Под вариацией вектора смещения
будем понимать произвольную гладкую геометрически допустимую, т. е. удовлетворяющую условию
малую функцию.
В (6.77) 
- отвечающая 
вариация упругого потенциала. При этом согласно (6.62), (6.52), (6.53) с учетом малости
вариаций и симметричности компонент тензора напряжений
Согласно соотношениям (6.34), (6.78)
С учетом этого выражения, а также (6.79), (6.80), (6.6), (2.27), (6.56)
Подстановка полученного выражения в (6.77) приводит ко второй форме записи вариационного уравнения Лагранжа:
Ее равносильность с уравнениями равновесия и статическими граничными условиями (6.57) следует из произвольности 
Нами был рассмотрен сжимаемый материал. В случае же несжимаемого материала вектор 
уже не является произвольным, будучи связанным условием несжимаемости. Получим эту связь. Варьируя для этого условие несжимаемости 
записанное в виде 
находим с учетом (6.71), (6.52), (6.53)
Таким образом, искомая связь имеет вид
Вариационное уравнение (6.77) заменим следующим:
Здесь 
множитель Лагранжа — произвольная функция, механический смысл которой тот же самый, что и в упругом законе (6.63), — всестороннее давление. С учетом соотношений (6.63) и (6.81) имеем
Сопоставление полученного выражения с (6.80) показывает, что вторая форма записи вариационного уравнения для несжимаемого материала имеет вид
В силу произвольности 
отсюда следует и условие несжимаемости 
Таким образом, условие несжимаемости выполняется «в среднем» или, как говорят, является естественным для вариационного уравнения. Это позволяет при использовании вариационного уравнения (6.82) не заботиться о том, чтобы вектор смещений удовлетворял условию несжимаемости.
