Глава 4. КОМПЛЕКСНЫЕ КООРДИНАТЫ И КОМПОНЕНТЫ
В предыдущих главах использовались прямоугольные декартовы координаты. В этой главе будут введены комплексные координаты и компоненты векторов, тензоров. Комплексные величины упрощают промежуточные выкладки и дают более компактные и обозримые окончательные зависимости. Для некоторых классов задач удобно вводить функции комплексной переменной. Комплексную запись можно рассматривать как аналог векторной. Материалы гл. 4 следует рассматривать как дальнейшее развитие комплексного метода Г. В. Колосова [27].
4.1. Приведение к комплексным координатам и компонентам
Введем комплексные координаты
Рассматривая теперь аргументами функций комплексные координаты, переходим к интегрированию по ним с помощью следующих из (4.1) формул:
Для тензора второго ранга 
удобно ввести комплексные комбинации компонент, называемые комплексными компонентами:
Разовьем необходимый в дальнейшем аппарат. Пусть 
еще один тензор второго ранга. Расписывая скалярное произведение 
получаем, используя (4.3),
Из (4.3) для сопряженного тензора 
усматривается
Для единичного тензора 
екеа [см. (1.32), (4.3)]
Полагая в 
и решая полученную систему, находим
По формулам (1.11) и (4.3) подсчитываем выражения для инвариантов тензора через его комплексные компоненты:
Сопоставление последнего выражения с последним из (4.6) дает
Для симметричного тензора 
аареаер 
Выпишем в заключение следующие из (4.2) полезные зависимости
