11.9. Несколько замечаний

При построении изложенной общей теории оболочек было принято несколько принципиальных предположений. Так, в традиционной формулировке геометрическая гипотеза Кирхгофа содержит предположение о нерастяжимости нормального волокна:

Введение в гипотезу параметров и позволяет в явной форме учесть деформационное изменение толщины оболочки, могущее для резиновой оболочки достигать нескольких десятков раз. Несмотря на это, некоторые авторы при построении общей теории (пригодной по их мнению для описания больших деформаций) принимают все же предположение о нерастяжимости нормального элемента (волокна) (11.113).

Рассмотрим случай чистого изгиба оболочки (рис. 11.4), при котором волокна параллельных поверхностей, лежащих по одну сторону срединной (точнее, нейтральной) поверхности, растягиваются, а по другую — сжимаются. При этом одна часть нормального волокна сжимается, а другая растягивается. Эту неравномерность деформации нормальных волокон и учитывает (простейшим—линейным—образом) величина .

Отметим, что и являются именно параметрами, поскольку их введение не повышает порядок системы разрешающих уравнений. Естественно, что и при вариационном подходе они

не варьируются [см. (11.104)] — не являются «энергетическими аргументами». Существенно, что при использовании вариационных уравнений (11.107), (11.108) нет необходимости в предварительном удовлетворении функции условию несжимаемости материала. Последнему удовлетворяем автоматически, принимая для выражения (11.11). При традиционном же подходе необходимо либо согласно (11.11) удовлетворить нелинейным уравнениям

либо усложнять вариационное уравнение, превращая условия несжимаемости (11.114) в естественные.

Рис. 11.4

При построении теории был использован двойной тензор напряжений (см. параграф 6.3). Это облегчило формулировку гипотез, позволило ввести симметричные усилия и моменты в недеформированной конфигурации (см. параграф 11.3), а основные зависимости получить (без специального дополнительного перепроектирования) в более удобных деформированных материальных осях. В сравнительной простоте полученных зависимостей большую роль сыграло предположение о линейном законе распределения напряжений по толщине (11.37). В подтверждение возможности принятия для эластомеров этого предположения рассмотрим в главных осях деформации закон упругости для несжимаемого материала [см. (3.29) при

где

Принятие статической гипотезы Кирхгофа приводит к закону упругости

Не рассматривая слишком большие изменения кривизны (перегибы), находим с учетом тонкостенности оболочки

Рассмотрим двухконстантный упругий потенциал (5.30)

Исправно обслуживающий весь диапазон расчета резинотехнических изделий. С учетом приведенных соотношений

Примем в качестве меры погрешности использования гипотезы отношение первого отбрасываемого (подчеркнутого) члена к последнему сохраненному. Тогда погрешность определяют величины

Отсюда и из (11.115) усматривается приемлемость гипотезы при не слишком больших значениях что обычно и выполняется в практических расчетах.

В изложенном подходе не используются уравнения совместности деформации (неразрывности срединной поверхности) и функции напряжения. Сделано это сознательно из-за неудобств их использования в общем нелинейном случае. Строго говоря, нельзя полученное назвать и уравнениями в смещениях, поскольку сами перемещения не введены. Вместо них разыскивается непосредственно (так удобнее) конфигурация деформированной срединной поверхности.