Главная > Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

15.8. Энергия деформации. Вариационное уравнение Лагранжа

Подсчитаем энергию деформации стержня. Используя для этого соотношение (6.62), имеем

Из представлений (15.13), статической гипотезы Кирхгофа (15.17) и зависимостей (15.41), (15.11) находим

где

В проделанных преобразованиях не варьировались подчеркнутые члены. Можно проследить, что их варьирование добавило бы малые для тонкого стержня члены [см. (10.8),(15. 10)]. Теперь с учетом (15.42) находим

Преобразуем полученное выражение. Так, согласно (15.14), (15.11), (15.25)

й по (15.27), (15.42) и первому из выражений (15.26) находим

В проделанных выше преобразованиях использовались соотношения для сжимаемого материала. Но полученные зависимости справедливы и для несжимаемого материала. Так, из первого условия несжимаемости (15.12)

Используя выражения (15.74), (15.72), (15.42), (15.31), опять-таки приходим к соотношению (15.73). Запишем далее

где согласно (15.42), (15.26), (15.29), (15.32), (15.35)-(15.37) для сжимаемого материала

в частности, для стандартного материала второго порядка

для несжимаемого материала

в том числе для трехконстантного потенциала

в том числе для неогуковского материала

Используя соотношения (15.73), (15.75), находим из (15.70), (15.71)

Здесь плотность энергий деформаций стержня в расчете на единицу длины оси недеформированного стержня, — - энергия растяжения стержня. Остальные слагаемые относятся к энергии изгиба стержня. Отметим, что, строго говоря, соотношения (15.71), (15.81) согласуются лишь при неварьировании модулей Варьирование последних, однако, приводит к появлению малых слагаемых того же порядка, что и пренебреженные выше члены.

Вариационное уравнение Лагранжа примем в виде

где

Используя следующие из формул (15.5), (10.3), (15.10) зависимости

преобразуем уравнение (15.82). Так, интегрирование по частям дает

(см. скан)

Далее с помощью соотношений находим

Из рис. 15.5, 15.7 следует, что вектор вариаций поворотов следует ввести так:

Отсюда и из (15.66)

Сопоставление полученных соотношений с (15.84) дает

Теперь видно, что левая часть второй формы уравнения Лагранжа (15.83) представляет собой как бы сумму пар произведений обобщенных сил на вариации отвечающих им обобщенных смещений. Согласно (15.45) заключенные в простые скобки величины представляют собой перерезывающие силы.

Из произвольности вариаций под интегралом следуют четыре уравнения равновесия, получаемые из (15.45) исключением из них перерезывающих сил. Из произвольности же вариаций на концах стержня следуют условия свободных концов, являющиеся, таким образом, естественными для вариационного уравнения. Нетрудно написать уравнения, дающие ненулевые концевые условия.

1
Оглавление
email@scask.ru