15.8. Энергия деформации. Вариационное уравнение Лагранжа

Подсчитаем энергию деформации стержня. Используя для этого соотношение (6.62), имеем

Из представлений (15.13), статической гипотезы Кирхгофа (15.17) и зависимостей (15.41), (15.11) находим

где

В проделанных преобразованиях не варьировались подчеркнутые члены. Можно проследить, что их варьирование добавило бы малые для тонкого стержня члены [см. (10.8),(15. 10)]. Теперь с учетом (15.42) находим

Преобразуем полученное выражение. Так, согласно (15.14), (15.11), (15.25)

й по (15.27), (15.42) и первому из выражений (15.26) находим

В проделанных выше преобразованиях использовались соотношения для сжимаемого материала. Но полученные зависимости справедливы и для несжимаемого материала. Так, из первого условия несжимаемости (15.12)

Используя выражения (15.74), (15.72), (15.42), (15.31), опять-таки приходим к соотношению (15.73). Запишем далее

где согласно (15.42), (15.26), (15.29), (15.32), (15.35)-(15.37) для сжимаемого материала

в частности, для стандартного материала второго порядка

для несжимаемого материала

в том числе для трехконстантного потенциала

в том числе для неогуковского материала

Используя соотношения (15.73), (15.75), находим из (15.70), (15.71)

Здесь плотность энергий деформаций стержня в расчете на единицу длины оси недеформированного стержня, — - энергия растяжения стержня. Остальные слагаемые относятся к энергии изгиба стержня. Отметим, что, строго говоря, соотношения (15.71), (15.81) согласуются лишь при неварьировании модулей Варьирование последних, однако, приводит к появлению малых слагаемых того же порядка, что и пренебреженные выше члены.

Вариационное уравнение Лагранжа примем в виде

где

Используя следующие из формул (15.5), (10.3), (15.10) зависимости

преобразуем уравнение (15.82). Так, интегрирование по частям дает

(см. скан)

Далее с помощью соотношений находим

Из рис. 15.5, 15.7 следует, что вектор вариаций поворотов следует ввести так:

Отсюда и из (15.66)

Сопоставление полученных соотношений с (15.84) дает

Теперь видно, что левая часть второй формы уравнения Лагранжа (15.83) представляет собой как бы сумму пар произведений обобщенных сил на вариации отвечающих им обобщенных смещений. Согласно (15.45) заключенные в простые скобки величины представляют собой перерезывающие силы.

Из произвольности вариаций под интегралом следуют четыре уравнения равновесия, получаемые из (15.45) исключением из них перерезывающих сил. Из произвольности же вариаций на концах стержня следуют условия свободных концов, являющиеся, таким образом, естественными для вариационного уравнения. Нетрудно написать уравнения, дающие ненулевые концевые условия.