6.3. Двойной тензор напряжений. Динамические соотношения

Исходя из представления тензора истинных напряжений

получаем с учетом (6.44) выражение

из которого усматривается, что номинальный тензор напряжений, рассматриваемый как двойной, имеет симметричные компоненты

Введем набла-вектор недеформированной конфигурации и единичный вектор нормали к недеформированной граничной поверхности

С учетом соотношений (6.55), (6.56), (2.37), (2.41) получаем первые два из следующих соотношений краевой задачи:

При написании граничных условий для простоты было принято где часть недеформированной граничной поверхности, на которой заданы напряжения а на смещения (конфигурация), т. е.

Используя соотношения (6.26), (6.27), (6.32), (2.39) и следующее из (6.24) выражение для кратности изменения объема

записываем задачу (6.57) в компонентном виде:

Отметим, что в силу тождества (6.39) первое из соотношений краевой задачи можно записать и так:

В случае, если поверхностной нагрузкой является нормальное давление, и по (2.36), (6.49), (6.58), (6.10)

Согласно (6.44) и (6.54) для симметричного тензора Пиала— Кирхгофа получаем следующее представление:

Из соотношений (6.54), (6.55), (6.61) следует, что одни и те же контравариантные компоненты имеют три тензора: тензор Кирхгофа рассматриваемый как двойной номинальный тензор напряжений и симметричный тензор Пиала-Кирхгофа.