Глава 6. ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

В предыдущих главах в основном использовались прямоугольные декартовы системы координат. При рассмотрении же криволинейных тел (оболочки, кривые стержни и т. п.) более удобны криволинейные координаты.

В параграфе 6.1 хотя и кратко, но систематически изложены основы тензорного анализа. В параграфах 6.2-6.5 полученные в предыдущих главах основные зависимости «переписываются» в криволинейных координатах. Особенностью изложения является использование двойных тензоров, один из индексов компонент которых отнесен к недеформированным материальным координатным осям, а другой — к деформированным. Использование двойного тензора напряжений дает возможность провести дифференцирование и удовлетворить силовым граничным условиям в недеформированной конфигурации тела, положение которой заранее известно. При этом полученные зависимости (без дополнительного перепроектирования) отнесены к более удобным во многих случаях деформированным материальным осям. Симметричность компонент двойного тензора облегчает формулировку статико-геометрических гипотез.

В параграфах 6.6.-6.8 выявляются преимущества применения использованного подхода к изучению возмущения равновесной конфигурации. Так, соотношения закона упругости для возмущений связывают лишь возмущения компонент деформации и напряжений (не содержат возмущений углов поворота). При следящей нагрузке уравнения равновесия и статические граничные условия не содержат возмущений углов поворота.

6.1. Криволинейные координаты

Пусть

радиус-вектор материальной точки в деформированной (текущей) конфигурации тела, орты пространственной прямоугольной декартовой системы координат. Введем материальные криволинейные координаты связанные с декартовыми законом

Рис. 6.1

Векторы

касательны к координатным линиям (рис. 6.1) и имеют длины — так называемые параметры Ламе —

Величины

единичные координатные векторы, в общем случае неортогональные.

Разрешая систему уравнений (6.3) относительно находим

где

При использовании криволинейных координат наряду с основными координатными векторами

рассматриваются также взаимные координатные векторы

связанные с основными легко проверяемыми условиями взаимности

Подстановка выражений (6.1) в (6.5) дает с учетом (6.4)

Наконец, используя условия взаимности (6.6) и (6.7), нетрудно убедиться в справедливости выражений

Введем в рассмотрение величины

связывающие основные и взаимные координатные векторы:

(Справедливость последних соотношений проверяется непосредственно. Например, скалярно умножая первое из них на приходим к зависимости справедливой в силу определения Сопоставление выражений (6.2) и (6.9) дает

Используя координатные векторы и диады, можно представить векторы и тензоры разложениями

Коэффициенты разложений с верхними индексами называют контравариантными, с нижними — ковариантными, с теми и другими — смешанными компонентами. В смешанных компонентах точки указывают порядок следования индексов. В симметричных тензорах порядок следования индексов несуществен, и точки опускают.

Используя формулы (6.10), получаем из (6.12) следующие связи между разнотипными компонентами одного и того же тензора (вектора):

Получим формулы преобразования компонент векторов и тензоров при переходе от одной системы координат к другой связанных законом

Прежде всего с учетом (6.1)

Таким образом получено первое из следующих соотношений:

Справедливость второго проверяется с помощью формул (6.6). Далее имеем

Сопоставление полученных выражений с представлениями вектора в новых координатах дает первые две из искомых формул пересчета компонент векторов и тензоров

Остальные выводятся аналогично. Также получаются и обратные формулы

Скалярно умножая первое из соотношений (6.10) на находим с учетом (6.6) и (6.9)

Тензор

называют единичным, поскольку согласно (6.12) и (6.16)

Его же называют метрическим, поскольку с помощью компонент можно совершать различные метрические операции. Так,

В частности, для элемента дуги координатной линии при

Нетрудно видеть также, что угол между двумя элементами касательных к пересекающимся кривым подсчитавается по формуле

Отсюда, в частности, усматривается, что угол между координатными линиями определяется формулой

Введем дискриминантный тензор, определяя его ко — и контравариантные компоненты равенствами

Как известно из курсов алгебры,

Отсюда с учетом усматриваемой из (6.20) кососимметричности тензора имеем

Остальные компоненты равны нулю. С помощью соотношений (6.20) и (6.5) проверяется справедливость следующих часто используемых равенств:

Рис. 6.2

Теперь уже нетрудно подсчитать площадь элементарной координатной площадки. Так, по (6.22) и (6.9)

Аналогично рассматриваются другие площадки. Таким образом, площадь 1-й элементарной координатной площадки равна

Подсчитаем объем элементарного параллелепипеда — элемента объема

и по

Рассмотрим элементарный тетраэдр (рис. 6.2)

Каждое слагаемое в этом равенстве представляет собой удвоенное произведение площади соответствующей грани на единичный

вектор нормали к ней. Поэтому, обозначая через единичный вектор нормали к скошенной грани, получаем

Для дифференцирования векторов и тензоров необходимо иметь формулы дифференцирования координатных векторов. Прежде всего пусть

Отсюда с учетом (6.6) находим, что коэффициенты в выписанном разложении равны

При этом симметричность полученных величин по паре нижних индексов следует из очевидных равенств Согласно (6.26) и (6.6)

Отсюда и следует с учетом (6.6)

Коэффициенты разложения называют символами Кристоффеля второго рода. Более удобны для подсчета символы Кристоффеля первого рода

связанные согласно (6.26) и (6.10) соотношениями

Символы Кристоффеля первого рода довольно просто выражаются через компоненты метрического тензора. В самом деле, дифференцируя первое из выражений (6.9) по и производя циклическую перестановку индексов, получаем

Вычитая первое выражение из суммы второго и третьего, получаем с учетом отмеченной выше симметричности символов Кристоффеля

и по

При рассмотрении общих вопросов теории упругости часто используют ковариантные производные компонент векторов и тензоров. Так, величины

являются ковариантными производными различного типа компонент вектора и тензора второго ранга. Ковариантное дифференцирование добавляет в компонентах тензора ковариантный (нижний) индекс, делая их компонентами тензора, имеющего ранг на единицу больший, — так называемого градиента тензора [см.

Ковариантная производная обладает рядом примечательных свойств. Так из формул (6.26), (6.28), (6.9), (6.20) и из известного правила дифференцирования произведения следует, что

Таким образом, координатные векторы, компоненты метрического и дискриминантного тензоров при ковариантном дифференцировании можно считать постоянными. Кроме того, как нетрудно видеть, на ковариантное дифференцирование распространяется правило обычного дифференцирования произведения. Отметим, что операция ковариантного дифференцирования введена для компонент вектора и тензоров. Сами же векторы и тензоры являются

инвариантными величинами, для которых ковариантная производная совпадает с обычной.

Сказанное о ковариантной производной позволяет теперь написать

Используя (6.31), (6.32), нетрудно проверить, что

т. е. (в обычном, эвклидовом пространстве) можно менять порядок ковариантного дифференцирования.

Получим несколько необходимых ниже соотношений. Из выражения, предшествующего (6.30), находим

Дифференцирование определителя дает

где алгебраическое дополнение элемента в определителе По известной теореме теории определителей Сопоставление последнего соотношения с (6.16) дает а тогда из (6.35), (6.36), (6.29)

Отсюда и следует требуемое равенство

Из соотношений (6.31), (6.32), (6.37) получаем

Предпоследнее из соотношений (6.33) можно записать с учетом (6.21) в виде

С учетом этого тождества (6.38), (6.39) можно записать и так:

В приложениях часто используются ортогональные координаты, для которых координатные векторы являются ортогональными так что С учетом этого из (6.3), (6.5), (6.11) следует

Компоненты векторов и тензоров в представлениях

называют физическими. Сопоставление этих представлений с (6.12) приводит к следующим связям: