11.8. Вариационное уравнение Лагранжа

Рассмотрение начнем с вывода интегрального тождества. Интегрирование по частям дает с учетом (11.59) и (10.57)

где

С учетом соотношений (10.57)

согласно же (10.46), (11.20)

Интегрируя теперь с учетом (10.50) подчеркнутый член по частям, находим

(Здесь было использовано очевидное в силу (10.45) тождество

Поскольку имеем согласно (10.30), (10.34)

Теперь с учетом (11.36)

Согласно (11.7)

Можно проследить, что сохранение подчеркнутых членов добавляет в энергию деформации малые в силу (10.13) члены. Опуская их, приходим к упрощенному выражению

Далее с учетом симметричности и (10.24)

Теперь имеем по (11.103)

Собирая вместе выражения (11.101), (11.102), (11.105), приходим к искомому [приближенному в силу (11.104)] интегральному тождеству

Пусть Здесь на части контура задан вектор (т. е. ), а на обобщенные кирхгофовские усилия и изгибающий момент. Потребуем, чтобы вариация была геометрически допустимой, т. е. будучи достаточно плавной функцией, удовлетворяла условию

При этом интегральное тождество (11.106) с учетом соотношений (11.44), (11.41) подсказывает первую форму записи вариационного равнения Лагранжа

Напомним, что здесь заданные на кирхгофовские усилия и изгибающий момент.

Проводя проделанные выше преобразования в обратном порядке, получаем вторую форму записи вариационного уравнения Лагранжа

В силу произвольности вариаций отсюда следуют уравнения движения (11.59) и силовые (статические) граничные условия (11.62). Последние, таким образом, являются естественными.

Вариационные уравнения (11.107), (11.108) можно использовать для нахождения приближенных решений краевых задач. Для этого, как известно, следует задать геометрически допустимые (т. е. удовлетворяющие геометрическим граничным условиям) где а — произвольные постоянные. По заданному с помощью полученных выше формул подсчитывают входящие в подынтегральные выражения величины. Подстановка последних в интегральное равенство приводит после интегрирования к уравнению

Из следующей отсюда (нелинейной) алгебраической системы

определяют постоянные . А это уже дает возможность найти приближенные значения всех интересующих нас величин. При этом первая форма (11.107) отвечает методу Ритца, а вторая форма (11.108) — методу Бубнова-Галеркина.

Существенным при этом является то, что при выборе не надо заботиться об удовлетворении условию несжимаемости материала. Последнее выполнено при выборе для выражения (11.11).

Выражение под первым интегралом в (11.107)

представляет собой плотность вариации энергии деформации оболочки в расчете на единицу площади недеформированной срединной поверхности. Прежде всего имеем согласно (11.66)

Для сжимаемого материала согласно (11.67), (11.69)

Для несжимаемого материала находим с учетом (11.11), (11.74).

Подставляя это выражение в (11.110) и используя соотношение (11.72), опять приходим к (11.111). Далее из (11.70), (11.73) и симметричности текущих модулей находим

(При переходе от предпоследнего выражения к последнему мы не варьировали текущие модули. Нетрудно видеть, что это приводит для тонкой оболочки лишь к малым погрешностям.) Теперь из соотношений (11.109), (11.111), (11.112) находим как для сжимаемого материала, так и для несжимаемого

При этом первое слагаемое отвечает тангенциальной деформации, а остальные — изгибной.

Обычно в вариационном подходе используют смещения. Соответствующие зависимости получаем, полагая в (11.107), (11.108)