2.2. Основные деформационные соотношения
Получим необходимые в дальнейшем геометрические зависимости. Прежде всего вдоль 
главной оси тензора деформации согласно (2.5), (2.6), (2.8), (2.11) и (1.1)
Обозначим
Объемы материальной частицы до и после деформации находим с учетом (2.18):
Отсюда и следует выражение для кратности изменения объема
Рис. 2.2
Рассмотрим элементарный тетраэдр вырезанный из недеформированного тела (рис. 2.2) с гранями, проходящими через главные оси деформации. Обозначая через 
площади его граней, через 
площадь основания, а через 
единичный вектор нормали к основанию, находим
т. е.
Пусть 
соответствующие величины в деформированном тетраэдре. Очевидно, для него можно использовать
соотношение (2.20), произведя в нем замену согласно (2.18):
В результате получаем
Согласно же (2.6), (2.15), (1.18)
Отсюда и из (2.21), (2.22) следует равенство
известное в зарубежной литературе как теорема Нансона.
Пусть 
часть тела и окружающая ее поверхность до деформации, а 
после деформации. Соотношения (2.19), (2.23) позволяют переходить от интегрирования по деформированному объему и поверхности к интегрированию по исходным, недеформированным. Так, для произвольной функции 
Введем в рассмотрение набла-векторы
связанные согласно (2.4) соотношениями
Известные формулы Гаусса — Остроградского
после умножения на постоянный вектор 
и суммирования по 
принимают с учетом (2.25) следующий вид:
Напомним, что 
произвольная величина. Если же 
тензор, то, производя под знаком интеграла операцию скалярного умножения, получаем с учетом (2.23)
Согласно правилу подсчета определителя произведения матриц и соотношениям (2.6) и (1.11) имеем
Отсюда и из (2.4) следуют полезные равенства
