Глава 9. ОБОБЩЕННАЯ ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

Пусть

т. е. материальные волокна, нормальные к плоскости смещаются поступательно параллельно плоскости, удлиняясь при этом с постоянной кратностью удлинений Отвечающую такому движению деформацию называют обобщенной плоской. Просто плоской деформацией называют важный частный случай, отвечающий . В этой главе представлен новый вариант теории, изложенный в работе [57].

9.1. Основные геометрические и динамические зависимости

Приведем соотношения гл. 4, отвечающие закону движения (9.1). Согласно (4.1)-(4.3) имеем, опуская здесь (как и везде ниже) соотношения, удовлетворяющиеся тождественно,

При очевидном предположении об углах поворота

из (4.11), (4.12) следует

Далее по (4.15), (4.16), (9.1)

где

С учетом (2.6), (4.4), (9.4), (9.5) находим

и отсюда

Из соотношений (4.9), (4.10), (9.6)-(9.8)

Отсюда и из (9.1) усматривается, что кратность удлинения в направлении оси кратность изменения площади элемента плоскости.

Связь между смещениями и координатами

удобно записать в комплексном виде

Упрощаются и уравнения движения (4.20):

В силу независимости рассматриваемых величин от вместо цилиндрического тела можно рассматривать какое-нибудь его поперечное сечение — область (рис. 9.1). При этом по (4.25)- (4.27) на контуре области имеют место: силовое (статическое) граничное условие

деформационное граничное условие

либо геометрическое

Рис. 9.1.

Согласно (4.28) на цилиндрическую поверхность (единичной высоты) с направляющей (могущей, в частности, быть и контуром области действуют напряжения с главным вектором и главным моментом, определяющимися соотношениями

На поперечное же сечение цилиндра со стороны положительного направления оси действуют напряжения с главным вектором и главным моментом, определяемыми соотношениями