Равенство (2.28) должно выполняться для любого материального объема. Применим его к элементарному тетраэдру (рис. 2.3). Поскольку
объемными интегралами, имеющими третий порядок малости, можно пренебречь по сравнению с поверхностным второго порядка малости. В результате приходим к равенству
Используя равенства (2.29) и (2.21), записанные для деформированной конфигурации, получаем
Представим веторы 
разложениями
и запишем их в виде
где
так называемый тензор истинных напряжений Коши или просто тензор напряжений. Знание его позволяет определить вектор напряжений на площадке любой ориентации.
Рис. 2.3
Рис. 2.4
Действительно, подставляя (2.31)-(2.32) в (2.30), находим
Используя соотношения (2.31) и (2.29), покажем на элементарном прямоугольном параллелепипеде (рис. 2.4) положительные направления компонент тензора напряжений. Из рисунка ясно, почему компоненты с одинаковыми индексами называют нормальными напряжениями, а с разными — тангенциальными напряжениями.
Подсчитаем главный момент приложенных к рассматриваемому параллелепипеду поверхностных сил относительно оси,
проходящей через центр параллелепипеда параллельно оси 
Поскольку главный момент должен равняться нулю, отсюда следует первое условие симметричности тензора напряжений
Остальные выводятся аналогично.
Вернемся к соотношению (2.28). Согласно (2.34) и (2.27) поверхностный интеграл в нем можно записать так:
Если ввести вектор напряжений в расчете на единицу исходной недеформированной материальной частицы
то, очевидно,
Сопоставление последнего равенства с (2.35) дает
Несимметричный тензор 
называют номинальным тензором напряжений, сопряженный с ним тензор 
первым (несимметричным) тензором Пиала — Кирхгофа, а 
тензором напряжений Кирхгофа.
Получим уравнения движения материальной частицы. Согласно (2.34) и (2.27)
Подставляя это выражение в (2.28), получаем с учетом произвольности объема и соотношений (2.33), (2.25) уравнения движения в деформированной конфигурации тела
Пусть 
плотность материала в недеформированной конфигурации. Для материальной частицы существует закон сохранения массы
констатирующий сохранение массы деформируемой материальной частицы. Из него и (2.19) следует другая форма записи закона сохранения массы:
Вернемся к равенству (2.28). Из (2.35) и (2.27) следует
Подставляя это выражение, а также (2.40) в (2.28), получаем с учетом (2.24) и произвольности объема уравнения движения в недефоржированной конфигурации
Обозначим через 
его плотность. Баланс количества движения выделенной части тела записывается так:
интенсивность действующей на выделенный объем массовой силы; 
вектор интенсивности поверхностной нагрузки, действующей через поверхность 
и являющейся функцией двух векторов: радиуса-вектора 
точки на 
и единичного вектора внешней нормали к ней 
Вектор 
называют вектором напряжения. Вектор напряжения, представляющий возникающие вследствие деформации внутренние силы, имеет свойство
элемент массы, интеграл в правой части интегрального равенства (2.28) — это скорость изменения количества движения выделенного материального объема. Левая же часть (2.28) является главным вектором массовых и поверхностных сил, приложенных к тому же объему. Равенство обеих частей и есть баланс количества движения. Другими словами, действующие на выделенную часть тела внешние силы уравновешиваются силами инерции в случае движения или равны нулю при равновесии.
