5.7. Учет малой сжимаемости сплошных эластомеров

Примем систему инвариантов

Рис. 5.15

Нетрудно видеть, что замены связанные с деформацией всестороннего расширения—сжатия, не изменяют инварианты Таким образом, инварианты характеризуют деформацию изменения формы (деформацию сдвига). При этом в силу очевидной связи в (5.38) три независимых инварианта. Введем упругий потенциал

Из (5.38), (3.13) находим

Отсюда для среднего нормального давления и главных значений компонент

девиатора напряжений

имеем

Приведем несколько соображений по выбору упругого потенциала (5.39). Прежде всего будем считать, что в силу малой сжимаемости материала разыскиваемый упругий потенциал близок к некоторому опорному потенциалу несжимаемого материала и переходит в него при

где А — несущественная для потенциала постоянная.

Рассмотрим деформацию всестороннего сжатия, при которой и согласно (5.41)

поскольку разыскиваемый потенциал должен удовлетворять естественным условиям симметрии:

Таким образом, где величина всестороннего сжатия, и по (5.41а)

Заменяя здесь его значениями из (5.33)-(5.35) и интегрируя, находим

где В — несущественная постоянная. При этом для закона Мурнагана

для закона умеренных давлений

и для упрощенного закона

Для всех трех вариантов

Рассмотрим условия перехода при малых деформациях отвечающего упругого закона в закон Гука (3.37). С учетом зависимостей (3.35), (5.39), (5.43), (5.38) условия (3.38) переходят в следующие:

Из соотношений (5.44), (5.45) усматривается выполнение первых двух условий. Последнее же согласно (5.42) записывается в виде

и выполняется в силу условия накладываемого на опорный потенциал несжимаемого материала Таким образом, упругий закон, удовлетворяющий условиям на потенциал и (5.44), при малых деформациях переходит в закон Гука.