12.3. Краевой эффект

Пусть рассмотренное безмоментное напряженно-деформируемое состояние имеет место всюду, кроме узких зон у краев арки-полоски. В этих зонах на безмоментное состояние накладывается так называемый краевой эффект — быстро меняющееся состояние, позволяющее удовлетворить общим (моментным) граничным условиям. Величины, отвечающие безмоментному состоянию и краевому эффекту, будем снабжать соответственно индексами Положим

Существенным здесь является предположение: краевой эффект, носящий изгибной характер, не дает ощутимого дополнительного растяжения

Подстановка выписанных выражений в первые два из уравнений движения (12.4) дает

Согласно соотношениям (12.14) из выписанных уравнений выпадают подчеркнутые одной чертой слагаемые. В силу предположенной плавности безмоментных величин и быстрой изменяемости величин краевого эффекта можно пренебречь величинами, подчеркнутыми двумя чертами, по сравнению со следующими за ними. Теперь с учетом (12.15) имеем систему трех уравнений

Третье уравнение получено дифференцированием второго.

Исключение из выписанной системы приводит к уравнению Поскольку уравнение принимает вид с очевидным решением

Второе из уравнений (12.25) дает так что по (12.24) и (12.15)

Теперь из (12.4), (12.12), (12.9), (12.10) при имеем для двухконстантного несжимаемого материала (с учетом того, что

Рассмотрим два варианта граничных условий:

отвечающих соответственно защемленной и шарнирно-опертой симметричным относительно среднего сечения (рис. 12.1) балкам-полоскам. При написании граничных условий были использованы соотношения и предположениях

Из выражения (12.26) и граничных условий прежде всего следует

Далее согласно (12.5), (12.26), (12.27), (12.24), (12.19)

Из (12.29), (12.30), (12.7) при имеем Приравнивая последнее выражение к (12.32), получаем при с учетом формул (12.29), (12.30), (12.19) и Отсюда и определяется

Вернемся к уравнению (12.28). Вводя новую безразмерную переменную (12.23)

приводим его с учетом (12.31) и (12.33) к эталонному виду

Отметим, что масштабный множитель с зависит помимо еще и от совмещенного геометрического параметра

Считая, что

выберем из решений уравнения (12.35) быстро убывающее по мере удаления от края решение типа краевого эффекта.

Согласно (12.29), (12.30), (12.34) граничное условие для заделанного края имеет вид

а для шарнирно-опертого

Сопоставление этих граничных условий показывает с учетом неравенства (12.36), что краевой эффект при заделке края значительно интенсивнее, чем при шарнирном опирании.

Построение решения типа краевого эффекта было проведено в предположении постоянства Следуя Е. П. Колпаку, уточним значения Так, согласно (12.27), (12.31) и (12.10) при имеем

Рис. 12.5

Находя отсюда уточняем форму срединной линии арки-полоски. Согласно (12.1),

Здесь в силу медленной изменяемости принято вместо ее значение на краю Постоянная А находится из условия

Полученные выше формулы позволяют выяснить, когда возможна замена решения моментной задачи суммой безмоментного решения и решения типа краевого эффекта.

Рис. 12.6 (см. скан)

Этот вопрос был рассмотрен Е. П. Колпаком [28]. Ниже приводятся несколько его рисунков. На них цифрой 2 помечены кривые, отвечающие безмоментному решению, цифрой 3 — сумме безмоментного решения и краевого эффекта. Цифра 1 отвечает «точному» решению моментной задачи, полученному численно, с применением сеточных методов.

Прежде всего из рис. 12.5 видно, что шарнирно-опертая пластина даже при прогибах порядка ширины пластины практически

остается безмоментной Остальные рисунки относятся к случаю жесткого защемления края. На рис. 12.6 и 12.7 показаны формы деформированной срединной поверхности, на рис. 12.8 и 12.9 — распределение тангенциальных напряжений

Рис. 12.7

Рис. 12.8

При этом рисунки, расположенные слева, отвечают безразмерной нагрузке а справа рис. 12.7,12.9 - тонкой пластине а рис. 12.6, 12.8 — более толстой Во всех расчетах рассматривался неогуковский материал.

Рис. 12.9 (см. скан)

Из приведенных рисунков видно, что сумма безмоментного решения и краевого эффекта аппроксимирует моментное решение тем точнее, чем тоньше пластина и меньше нагрузка.

В отличие от жестких оболочек здесь краевой эффект влияет на общую форму оболочки (а не только на ее вид в окрестности края пластины.) В первом приближении можно считать, что защемленная пластина ведет себя как безмоментная пластина меньшей (на величину зон краевого эффекта) длины.

Рис. 12.10

Рис. 12.11

Рис. 12.12