16.16. Малые колебания возле равновесной конфигурации тела

Вернемся к системе уравнений для возмущений (6.95). Считая ее однородной и выделяя из массовых сил силы инерции, приходим к краевой задаче о малых колебаниях возле равновесной конфигурации:

Отвечающая ей статическая задача

является, как уже говорилось выше, задачей о собственных значениях.

Ищем решения системы уравнений -собственные формы колебаний — в виде

где частоты (вообще говоря, комплексные величины) собственных колебаний. Подстановка выписанного выражения в (16.102) приводит к краевой задаче

Как известно [8], условием самосопряженности задачи (16.105) является выполнение с учетом граничных условий задачи интегрального равенства

при производных удовлетворяющих геометрическим граничным условиям задачи. С использованием тождества (6.98) и граничных условий задачи приводим (16.106) к виду

совпадающему с учетом равенства (16.104) с условием консервативности внешней нагрузки [второе соотношение (6.99)]. Таким образом, самосопряженность краевой задачи (16.105) обеспечивается консервативностью внешней нагрузки.

Однородная задача (16.105) может иметь нетривиальные решения при определенных — собственных — значениях величины Для самосопряженной задачи № вещественно. В самом деле,

умножая первое уравнение (16.105) на U (здесь - знак комплексного сопряжения) и интегрируя по объему тела, получаем

Последний интеграл равен нулю в силу условия самосопряженности (16.106) (подчеркнутые члены в последнем, очевидно, упраздняются и остается положить Оставшиеся в (16.107) интегралы вещественны и, стало быть, вещественно.

Пусть Тогда вещественна и, согласно (16.104), амплитуда колебания не возрастает во времени, т. е. положение равновесия устойчиво. И наоборот, при чисто мнимы. Из (16.14) видно, что при этом имеется решение (собственная форма колебания) с возрастающей во времени амплитудой, т. е. положение равновесия неустойчиво.

В силу непрерывной зависимости от внешних сил моменту потери устойчивости отвечает прохождение величиной нулевого значения (из интервала устойчивости в интервал неустойчивости При этом потеря устойчивости происходит по типу статической неустойчивости, характеризуемой монотонным нарастанием амплитуды смещения

Поскольку при задача о малых колебаниях (16.105) переходит в задачу о собственных значениях (16.103), из сказанного выше следует: при консервативных внешних силах для отыскания критических значений внешних сил вместо динамического метода можно использовать (более простой) статический.

При консервативных внешних силах типичным при возрастании нагрузки будет поведение частот собственных колебаний, показанных на рис. 16.8, а При неконсервативных внешних силах возможна потеря устойчивости по типу динамической (колебательной) неустойчивости, связанной с переходом частоты собственных колебаний в правую полуплоскость при (рис. 16.8, б). В этом случае статический подход, очевидно, неприменим. Неприменим он и при динамических (например, пульсирующих) воздействиях.