11.3. Усилия и моменты. Силовые граничные величины

Подсчитаем главный вектор и главный момент напряжений, действующих на элемент нормального сечения деформированной оболочки. Пусть (см. рис. 10.5) площади элементарных площадок нормального сечения оболочки до и после деформации, единичные векторы нормали к нему, орт тангенциальной нормали на срединной линии нормального сечения. За сохраним обозначения единичных ортов нормали к срединной поверхности. При этом (рис. 11.2)

где векторы усилий и моментов в расчете на единицу длины срединной линии недеформированного нормального сечения.

С учетом произведенных изменений в обозначениях имеем согласно (2.36), (2.37), (6.55), (11.2)

Согласно же формулам (10.59)

Подстановка последнего выражения в (11.29), а его в (11.28) дает с учетом (11.1), (11.3), (10.26), (10.27)

Из соотношений (11.30), (11.31) следует

Отсюда видно, что (ковариантные) компоненты двойного тензора усилий (см. параграфы 6.2, 6.3), компоненты двойного тензора моментов, так называемые перерезывающие усилия.

Для тонких оболочек согласно (10.13) подчеркнутые в (11.32) члены могут быть опущены. При этом для моментов (теперь уже симметричных величин) имеем

Используя же симметричные усилия

получаем из (11.32), (11.34)

Более подробно о симметричных условиях (введение которых связано с именем В. В. Новожилова) сказано в работе [58, ч. I, с. 95]. Там же обсуждается «смешанный набор» усилий Новожилова

обладающий существенным преимуществом — простотой.

Принятие геометрических гипотез Кирхгофа накладывает внутренние связи — неизменность прямого угла между координатными осями и нормалью к срединной поверхности. Отсюда следует (см. параграф 3.3), что компоненты непосредственно не связаны с деформацией оболочки. Таковыми же являются и выражаемые через них перерезывающие усилия Последние, таким образом, относятся к силовым (статическим) величинам. Пусть

Подставляя эти представления в (11.34), (11.35), находим

стало быть, по (11.37)

Согласно же (11.10) имеем, пренебрегая изгибной составляющей, и с учетом (11.14)

Рассмотрим вариацию работы напряжений, действующих на нормальное сечение оболочки, проходящее через граничный контур срединной поверхности Г:

Преобразуем выписанный интеграл, используя соотношения и очевидное равенство

Вводя обозначения

запишем с учетом (10.57) предыдущее выражение в виде

При выводе этих соотношений мы не варьировали величины и считая их параметрами. В параграфе 11.5 будет показана законность такого предположения.

Преобразуем подчеркнутое в (11.42) слагаемое. Используя для этого выражения (11.20), (10.47) и очевидное равенство получаем

Далее согласно (10.50), (11.20)

Подстановка полученных выражений в (11.42) дает

где

обобщенные кирхгофовские усилия.

Согласно Поэтому выражение (11.43) записывается и так:

где

краевые векторы усилий и моментов.

С учетом соотношений (6.43), (11.2)-(11.3) введем градиент движения срединной поверхности

обладающий очевидными свойствами

Согласно (11.33), (11.48)

где

Тензор (11.33) является поверхностным аналогом несимметричного номинального тензора напряжений Поэтому по аналогии с тензором истинных напряжений Коши 2 тензор можно назвать тензором истинных усилий. Соответственно тензоры (11.33) и (11.47) можно назвать двойными поверхностными тензорами.

Введем физические компоненты произвольного тензора X:

Здесь в соответствии с формулами (10.68) угловые скобки отвечают недеформированной системе (материальных) координат срединной поверхности, а круглые — деформированной. И ту, и другую считаем ортогональными. Согласно (11.50) введенные компоненты связаны соотношениями

С использованием введенных физических компонент тензоры (11.33) и (11.49) записываются в виде

В ортогональных системах координат, старой и новой штрихами), запишем тензор истинных усилий

Скалярно умножая это равенство справа на а слева на получаем

Согласно рис. 1.2

и предыдущие равенства записываются так: