16.14. Энергетический критерий устойчивости
Пусть
малая вариация вектора смещения. Потребуем, чтобы она, будучи достаточно гладкой функцией, была и геометрически допустимой,
т. е. удовлетворяла условию
В остальном это произвольная функция.
Из равенства 
(16.91), (16.34) следует
Снабжая штрихом возмущенные величины и отбрасывая в дальнейшем малые выше второго порядка, имеем [см. (6.6), (6.9), (6.1)]
Используя далее формулу Тэйлора, находим
Отсюда и из 
получаем для сжимаемого материала
где
первая и вторая вариации упругого потенциала. При этом вариации смещения 
отвечает приращение энергии деформации тела
Далее в процессе малой дополнительной деформации массовые силы изменяются от 
до 
со средним значением 
Среднее же значение поверхностной силы — 
Поэтому работа внешних сил на (малой) вариации смещения подсчитывается по формуле
Сформулируем теперь энергетический критерий устойчивости равновесия тела: равновесие тела устойчиво, коль скоро
отвечающее произвольной геометрически допустимой вариации смещения приращение энергии деформации больше совершаемой на ней работы внешних сил.
Согласно (16.95), (16.96) сформулированный критерий записывается в виде
С учетом вариационного начала Лагранжа (6.77) вторая квадратная скобка равна нулю. Подставляя в первую выражение (16.94), приходим к окончательной форме записи энергетического критерия устойчивости равновесия тела при сжимаемом материале:
При этом критерий должен выполняться для любого, не равного нулю тождественно, геометрически допустимого 
Поясним использование в (16.97) обозначения 
Для этого рассмотрим случай потенциальных внешних сил
где 
потенциалы массовой и поверхностной внешних сил. В частности, для «мертвых» сил
Согласно (16.98)
Меняя затем в (6.77) порядок интегрирования и варьирования (это можно делать в силу независимости 
от 
приходим к условию стационарности
полной энергии тела
представляющей собой потенциальную энергию системы, в которую помимо тела включены материальные объекты (в том числе поля), реализующие внешние силы.
Используя соотношения (16.92)-(16.94), (16.99), а также Выражения
получаем из (16.100) выражение для второй вариации полной энергии:
Согласно (16.98)
Теперь нетрудно видеть, что выражение (16.101) совпадает с так же обозначенным выражением левой части неравенства (16.97).
Таким образом, в рассматриваемом случае потенциальной внешней нагрузки энергетический критерий устойчивости (16.97) отвечает минимуму полной энергии тела, обеспечиваемому положительностью второй вариации полной энергии.
