9.4. Ортогональные криволинейные координаты. Конформное отображение

В соответствии со сказанным в параграфах 4.5, 4.6 в ортогональных координатах, связанных с граничным контуром рассматриваемой недеформированной области (см. рис. 9.1), для комплексных компонент тензора [см. (4.32)]

имеют место зависимости [см. (4.33)]

Далее

где

нормальная и касательная компоненты вектора напряжения на боковой поверхности цилиндра.

Соотношения (4.37), (4.38) раскрывают геометрический смысл правой части деформационного граничного условия (9.20). Отметим, что формулы (9.33) и (4.37), (4.38) применимы не только к граничному контуру области но и к любой кривой в ней. Поэтому они дают возможность определить поворот и кратность удлинения элемента любого материального волокна (направление которого до деформации определялось углом а также напряжения на поперечной площадке, определяемой упомянутым элементом.

Компоненты вектора смещения

связаны с комплексными координатами соотношением

Пусть функция

конформно отображает единичный круг на недеформированную область. Преобразуя по формуле (4.43) рассматриваемые функции к новому аргументу, имеем

Из рис. 4.3 и соотношений (4.44) усматривается

На единичной окружности

и для производной вдоль контура области, отвечающего единичной окружности, имеет место выражение (4.46). Далее при определении концентрации напряжений возле отверстий, вырезов и включений полезно выражение для кривизны недеформированного контура (4.48), а также (4.47).

С учетом выписанных зависимостей, а также соотношений параграфа 9.2 получаем для сжимаемого материала: разрешающее уравнение

силовое (статическое) граничное условие

деформационное граничное условие

выражения для комплексных компонент тензора истиных напряжений

где теперь

Соотношения для несжимаемого материала следуют из выписанных выше путем замен (9.25)-(9.26).