Глава 7. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ

В нелинейной теории упругости широко используются полученные полуобратным методом так называемые универсальные решения. Некоторые из них приводятся ниже. Подробно с универсальными решениями можно ознакомиться из публикаций [17, 32, 97].

7.1. Цилиндрический изгиб прямоугольной пластины

Рассмотрим длинную прямоугольную пластину (рис. 7.1) с размерами испытывающую цилиндрический (не зависящий от изгиб.

Рис. 7.1

При этом срединная линия поперечного сечения изменяя свою длину, переходит в дугу окружности радиусом линии - в окружности а прямые в радиусы Пусть нейтральной (не изменяющей своей длины) линии отвечают рис. 7.1 усматривается

Считая материал несжимаемым, имеем

Отсюда и из (7.1) следует

С учетом того, что находим

Из рис. 7.1, условия несжимаемости и того, что отвечает нейтральной оси находим

Подставляя выражение (3.29)

в уравнение равновесия [см. (6.59) и параграф 6.9]

получаем

Принимая двухконстантный потенциал (5.30)

получаем из (7.5), (7.3) и (3.29)

где постоянная интегрирования.

Считая лицевые поверхности пластины свободными от напряжений, т. е.

получаем из (7.6)

Растягивающее усилие (в расчете на единицу длины линии с учетом равенств (7.4) и (7.7) равно нулю. Действительно,

Тем самым рассматривается случай чистого (цилиндрического) изгиба. Далее для изгибающего момента (также в расчете на единицу длины линии находим с учетом (7.6) и

Полагая в первом из соотношений находим для величин определяющих положение нейтральной оси,

Из соотношения (7.8) усматривается, что при произвольном оно выполняется при

Подстановка сюда выражений (7.2) приводит к соотношению

Задаваясь теперь отношением находим из а значит, и Затем из (7.2) определяем а из (7.10) Теперь из (7.9) можно определить функцию а по (7.6), Из соотношений (7.11), (7.10) видно, что Таким образом, в рассматриваемой задаче, как и следовало ожидать, нейтральная ось располагается ниже (материальной) срединной

Рассмотрим тонкую пластину, для которой

и

Подстановка последнего выражения в соотношения (7.10), (7.11) дает

Отсюда следует, что для тонкой пластины можно положить

т. е. отождествлять срединную и нейтральную линии. При этом выражения (7.2) принимают вид

и приближенно

Подстановка этого выражения в (7.6), (7.8), (7.3) дает с учетом (7.12)

Соотношения (7.13) могут быть использованы для обоснования стати когеометрических гипотез в теории тонких оболочек (см. параграф 11.9), поскольку после отбрасывания в них подчеркнутых членов, мы получаем зависимости теории тонких оболочек.