1.2. Тензор второго ранга

По аналогии с вектором тензор второго ранга введем как инвариантный объект, представляемый в данном ортонормированном координатном векторном базисе разложением

Величины называют координатными диадами, а само выписанное выражение — диадным представлением тензора. Ранг тензора определяется числом индексов у его компонент. В частности, вектор можно считать тензором первого ранга, а инвариант — нулевого. Ниже рассматриваются в основном лишь тензоры второго ранга, так что будем называть их просто тензорами. Из представления (1.7) усматривается, что в выбранном координатном базисе тензор второго ранга определяется девятью его компонентами

Подстановка выражений (1.5) в (1.7) приводит к закону преобразования компонент тензора

[вторые выражения выводятся из первых с учетом (1.4)]. Обычно равенства (1.8) и принимают в качестве определяющего свойства тензора, а сам тензор задают, указывая его компоненты в конкретной системе координат (координатном базисе).

Тензоры можно скалярно перемножать. Пусть наряду с (1.7) имеется еще один тензор Тогда с учетом (1.1) по определению

т. е.

Таким образом, при диадном представлении тензоров в скалярном произведении скалярно перемножаются соприкасающиеся (соседние) векторы диад. При компонентном же задании суммируются по соприкасающимся индексам произведения компонент. При этом в отличие от векторов существен порядок следования перемножаемых тензоров. Так, в общем случае

Итак, скалярное произведение двух тензоров приводит к тензору. Аналогично скалярное произведение тензора и вектора дает вектор. При этом

При помощи формул (1.8) и (1.4) можно проверить, что тензор имеет следующие главные инварианты.

Из зависимостей (1.10) усматривается, что тензор можно рассматривать как оператор, переводящий вектор в некоторый другой. Наибольший интерес представляют векторы, претерпевающие при этом минимальные изменения. Эти так называемые главные (собственные) векторы тензора а удовлетворяют соотношению

Масштабный множитель называют главным значением (собственным или характеристическим числом) тензора.

Согласно (1.10) векторное равенство (1.12) можно записать в виде следующей линейной однородной системы уравнений:

Из курсов алгебры известно, что необходимым и достаточным условием существования ненулевого решения является равенство нулю определителя:

С учетом (1.11) это соотношение, называемое характеристическим уравнением, можно записать и так:

Поскольку коэффициенты характеристического уравнения инварианты, инвариантами являются и его корни — главные значения Как увидим ниже, главные значения и определяют структуру тензора; поэтому им и уделяется такое большое внимание. При найденных главных значениях главные векторы определяются из системы (1.13).

Сопряженным с называют тензор [ср. (1.7)]

Таким образом, сопряженному тензору отвечает перестановка векторов в диадах или, что то же, транспонирование матрицы, составленной из компонент тензора.

Из (1.11) усматривается, что

и по

т. е. сопряженный тензор имеет те же главные значения и инварианты.

Переходя к компонентам, нетрудно проверить справедливость следующих свойств сопряженного тензора:

Операция векторного умножения вектора на тензор вводится следующим образом: