6.7. Консервативность внешних сил. Вариационное уравнение и принцип стационарности полной энергии для возмущений

Преобразуем очевидное в силу краевой задачи (6.95) интегральное равенство

Используя тождество (6.98) при и (6.95), получаем отсюда

Пусть произвольные, с требуемой гладкостью, геометрически допустимые [т. е. удовлетворяющие граничным

условиям (6.95)] смещения. Внешние силы, удовлетворяющие тождеству

называют консервативными.

Покажем, что при консервативных внешних силах выражение

является полной энергией для возмущения равновесной конфигурации тела, т. е. условие ее стационарности

на равносильно краевой задаче (6.95). Прежде всего

В силу предположенной консервативности внешних сил (равенство (6.99) при сумма в квадратной скобке равна нулю. Используя далее симметричность текущих модулей (6.91), получаем

Тождество (6.98) позволяет преобразовать последнее равенство к виду

В силу оговоренной произвольности отсюда и из (6.101) следуют уравнения равновесия и силовые граничные условия (6.95). Очевидно и обратное: из соотношений (6.95) следует стационарность полной энергии.

Для нахождения стационарности полной энергии можно использовать хорошо разработанные прямые методы математической

физики. При этом методу Ритца отвечает вариационное уравнение (6.101), (6.102), а методу Бубнова-Галеркина -(6.101) и (6.103).

Все сказанное выше относится к сжимаемому материалу. Для несжимаемого же материала вместо (6.100), (6.102), (6.103) совершенно аналогично получаем следующие соотношения:

Таким образом, для несжимаемого материала из стационарности полной энергии следует и условие несжимаемости для возмущения (6.94).

Возвращаясь к условию консервативности внешних сил (6.996), отметим, что оно согласно (6.97) заведомо выполняется для мертвых внешних нагрузок. В остальных случаях требуется специальное рассмотрение.