Глава 2. ОСНОВНЫЕ КИНЕМАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ

В этой главе рассматриваются кинематика, деформация и динамика движущейся материальной частицы тела. Движение описывается в пространственной прямоугольной декартовой системе координат. Используется материальный (лагранжев) способ описания движения, при котором как бы следят за движущейся материальной частицей. Рассматриваемые величины относятся как к текущей (деформированной), так и к исходной (недеформирован-ной) конфигурации тела. Все вопросы, поднятые в этой главе, рассмотрены с геометрических (кинематических) либо статических (динамических) позиций вне зависимости от механических свойств материала.

2.1. Движение и деформаций материальной частицы

Пусть

уравнения движения материальных точек тела в пространстве, отнесенном к выбранной системе прямоугольных декартовых координат. Здесь пространственные координаты движущейся точки, а материальные координаты, выделяющие (индивидуализирующие) материальную точку. Обычно в качестве материальных координат принимают пространственные координаты материальной точки в некоторый фиксированный момент времени кодифференцирование выражений (2.1) по материальным координатам приводит к связи между дифференциалами пространственных (текущих) и материальных координат

Введем в рассмотрение радиусы-векторы

и тензоры

То, что является в соответствии с обозначением тензором, обратным проверяется непосредственно:

С помощью соотношений (2.3), (2.4) зависимость (2.2) запишем так:

Геометрический смысл введенных величин усматривается из рис. 2.1: радиусы-векторы движущейся материальной точки в начальный и текущий моменты времени; векторы, определяющие положение произвольной точки малой

частицы относительно ее центра в начальный и текущий моменты времени.

Из (2.5) следует, что тензор определяет локальное движение (относительно своего центра) точек материальной частицы. Будем называть его градиентом движения. За рубежом используют термин deformation gradient, причем deformation имеет более широкий смысл, чем деформация. Эквивалентом последней является термин strain.

Рис. 2.1

Применяя к градиенту движения полярное разложение (1.50) и зависимости (1.17), (1.36), (1.37), получаем

Напомним, что здесь симметричный тензор с положительными главными значениями, ортогональный тензор:

В механике деформируемого тела под деформацией понимают движение тела, сопровождаемое изменением расстояний между его материальными точками. Если указанных изменений не происходит, тело движется как жесткое тело (абсолютно твердое тело). Обозначим через

длины элемента материального волокна в начальный момент времени деформации) и в текущий (после деформации). Тогда по формулам (2.5), (2.6), (1.17), (1.31)

т. е.

Отсюда видно, что тензор А определяет изменение расстояния между точками материальной частицы, т. е. деформацию.

Рассмотрим движение, для которого т. е. Из выражения (2.7) при этом следует т. е. движение без деформации — поворот частицы как жесткого целого. Таким образом, тензор определяет поворот материальной частицы в полном соответствии со сказанным о нем в параграфах 1.3, 1.4.

Пусть главный (ортонормированный) векторный базис тензора А. С учетом (1.25а), (1.9)

В i-м главном направлении тензора и по выражению (2.7)

т. е.

Таким образом, главные значения тензора А являются кратностями удлинений материальных волокон, следующих главным направлениям тензора. Поэтому А будем называть тензором кратностей удлинений.

Наряду с А используется тензор

При этом согласно (2.8), (2.10) и (1.18)

Если ввести в рассмотрение орты

то

Таким образом, А — тензор с теми же, что и у А, главными значениями, но другими главными осями (направлениями), повернутыми тензором поворота материальной части определенным полярным разложением градиента движения Далее

Поскольку произвольная классическая тензорная функций представляет собой тензорный полином второй степени (см. параграф 1.4), то исходя из (2.10), (2.13), (1.42)

Из сказанного вытекает, что в качестве тензоров деформации могут быть выбраны в принципе любые из следующих пар классических тензорных функций имеющих общие инварианты — так называемые меры деформации и главные оси, связанные зависимостями (2.11). При этом указанные тензорные функции имеют канонические представления

Приведем наиболее часто используемые тензоры деформации:

Выбор того или иного тензора деформации (меры деформации) определяется в конечном счете соображениями удобства рассмотрения конкретной проблемы. Разговор об этом впереди, в последующих главах.

Отметим, что внутри каждого из семейств (2,15) тензоры соосны между собой. Иногда, чтобы четче различать одноименные тензоры обоих семейств, добавляют к первым имя Лагранжа, а ко вторым — Эйлера. Например, С — тензор деформации Коши — Лагранжа, а С - Коши-Эйлера. Отметим также, что нет установившихся названий тензоров деформации: по-разному называют одни и те же тензоры и, наоборот, одинаково разные тензоры. Помочь здесь может лишь «визитная карточка» (2.15). Из (2.6) и (2.10) следует также

С учетом соотношений (2.1) и (2.3) векторы скорости и ускорения материальной точки подсчитывают по формулам