7.2. Толстостенная труба

Рассмотрим полый круговой цилиндр (см. рис. 6.3) из несжимаемого материала. Примем в цилиндрической системе координат

Постоянная определяет растяжение трубы, раздувание, а ее продольный (осевой) сдвиг.

Используя соотношения (7.14) и зависимости параграфа 6.9, последовательно находим

Из условия несжимаемости материала следует

Интегрирование последнего уравнения дает

где С — постоянная интегрирования. С учетом (7.17а) находим из (7.16)

Отсюда и исходя из того, что является приведенным алгебраическим дополнением элемента в определителе (см. параграф 6.1), находим

По формулам, приведенным в параграфе 6.1, подсчитываем отличные от нуля символы Кристоффеля

Введем в недеформированных материальных осях физические компоненты тензоров

Подстановка этих величин в однородные уравнения равновесия (6.59) приводит с учетом (7.18) к уравнениям

Согласно (6.63)

Исключая из получаем с учетом (7.20)

Интегрирование этого уравнения приводит к следующему нелинейному алгебраическому уравнению для функции

Определяя отсюда получаем из (7.20) и первого уравнения (7.19)

где использовано одно из следующих обозначений:

Пусть на внешней поверхности нормальное давление равно а на внутренней — Тогда

Если наружная поверхность взаимодействует с упругим основанием, то при имеет место условие упругого сопряжения

где податливость упругого основания. В случае линейного — Винклеровского — основания

где коэффициент постели (податливости) основания.

Рассмотрим поперечное сечение цилиндра со стороны возра-

стания координаты На нее действует растягивающая сила

Осевая сдвигающая сила, действующая на внутреннюю поверхность цилиндра единичной деформации) длины, равна