16.12. Влияние докритического сжатия стержня
Изложенный в параграфе 16.4 статический метод Эйлера можно использовать при рассмотрении мягких и приведенных стержней (стержни из эластомеров, пружины", сильфоны и т. п.). При этом, однако, надо учитывать докритическое изменение геометрических характеристик стержня.
Пусть X — постоянная вдоль оси стержня ее кратность удлинения (при 
сжатия). Снабжая кружками значения
величин до деформации, будем считать
(наличие минуса связано с тем, что здесь 
сжимающая сила). Согласно (16.26) имеем для критической силы шарнирно опертого стержня выражение
Подставляя сюда выражения (16.80) при отвечающей 
кратности удлинения 
и вводя радиус инерции сечения недеформированного стержня [см. (16.10)]
приходим к уравнению
определяющему 
в зависимости от гибкости недеформированного стержня 
Рассмотрим стержень из эластомера, принимая условие несжимаемости. Считая, что поперечное сечение в силу изотропии упругих свойств деформируется во всех поперечных направлениях одинаково, находим из условия несжимаемости 
При этом согласно (16.80) и (16.82)
Далее, согласно (3.29) при 
где 
функция типа всестороннего давления. Пренебрегая малыми напряжениями 
по сравнению с основным 
(см. параграф 15.2), имеем из 16.84)
Исключая отсюда 
получаем
Рассмотрим двухпараметрическое семейство упругих потенциалов (5.30)
для которого по (16.85), (16.82), (16.80) и (16.83)
На рис. 16.12 показаны зависимости безразмерного истинного напряжения 
и условного 
от кратности удлинения для различных значений 
Рис. 16.12
Из (16.87) и (16.80) находим
Подстановка выражений (16.83) и (16.88) в соотношение (16.81) приводит к искомому уравнению
На рис. 16.13 для 
показана зависимость между гибкостью недеформированного стержня и эйлеровой деформацией. Из рисунка видно, что предельное значение гибкости, при которой еще возможна потеря устойчивости, равно 
и что предельное значение гибкости мало зависит от 
изменяясь в пределах 
(рис. 16.14). Согласно (16.10) и (16.11) для прямоугольного сечения с меньшей стороной 
а для кругового радиусом 
Таким образом, получен любопытный результат: в рамках кирхгофовской теории стержней шарнирно опертый стержень
из эластомера, подчиняющегося закону (16.86), с гибкостью меньше 9 не может потерять устойчивости при сжатии. Согласно (16.80) и (16.83) имеем
где 
первая эйлерова нагрузка, подсчитанная по размерам недеформированного стержня. Видно, что она быстро увеличивается 
при возрастании докритического сжатия.
Рис. 16.13
Рис. 16.14
