3.3. Внутренние связи
Вернемся к соотношению (3.10). Оно было получено из равенства (3.9) в силу произвольности 
Последние, однако, не являются произвольными в случае, если на деформации наложены некоторые внутренние связи. Рассмотрим три типа таких связей, наиболее часто используемых.
1). Несжимаемость. Варьируя условие несжимаемости материала 
получаем с учетом (3.5)
Умножая полученное условие на произвольную вещественную функцию 
и прибавляя к равенству (3.9), находим 
Из-за связи (3.26) здесь уже нельзя считать все 
линейно-независимыми: одна из них линейно зависит от всех остальных. Выберем функцию 
так, чтобы скобка перед зависимой вариацией была равна нулю. Поскольку остальные вариации линейно-независимы, равны нулю и остальные скобки, т. е.
или
либо, наконец,
Таким образом, для несжимаемого материала тензор напряжений определяется с точностью до произвольного всестороннего давления. В упругом же законе необходимо провести замены
2). Сохранение прямого угла. Пусть 
ортогональные между собой малые векторы, так что 
Согласно (2.5) они переходят в векторы 
Пусть последние остаются ортогональными:
т. е. определяемый векторами 
прямой угол не скашивается при деформации. С учетом зависимостей (1.18), (2.6) это условие можно преобразовать к виду
Варьируя это условие и меняя индексы суммирования, получаем
Умножая эту связь на произвольную вещественную функцию 
и прибавляя полученную зависимость к равенству (3.9), находим, как и выше,
т. е.
или с учетом (2.6)
Таким образом, для материала с неискажаемым прямым углом тензор напряжений определяется с точностью до произвольной тангенциальной компоненты в осях, определяемых сторонами этого угла. В упругом же законе необходимо произвести замены
3). Нерастяжимость в данном направлении. Будем считать, что материальное волокно в направлении, определяемом малым вектором 1, нерастяжимо. В процессе деформации вектор 1 переходит в 
и условия нерастяжимости имеют вид
или с учетом (1.18), (2.6)
Повторяя преобразования, проделанные в случае 2), получаем
Таким образом, для материала, не растяжимого в данном направлении, тензор напряжений определяется с точностью до произвольной нормальной компоненты, отвечающей направлению нерастяжимости. При этом в законе упругости необходимо провести замены
В последующих главах будет показано, что обусловленные внутренними связями произвольные функции определяются из динамических (статических) зависимостей.
