6.8. Структура уравнений для возмущений

Получим отвечающие векторным соотношениям (6.95), (6.96) скалярные эквиваленты. Прежде всего возмущение уравнения (6.59) дает с учетом (6.58) и (2.39)

Подсчитаем с учетом формул (6.27), (6.28), (6.32), (6.86), (6.87)

В силу симметричности по индексам и выражения (6.88)

Подстановка этого выражения в (6.104) приводит к первому из следующих выводимых аналогично выражений:

Используя соотношение (6.40), можно записать первое из этих соотношений в виде

Из соотношений (6.105), (6.89), (6.92) усматривается, что линеаризованные уравнения равновесия и силовые граничные условия не содержат возмущений углов поворота, коль скоро их не содержат т. е. при

Рассмотрим второе условие. Прежде всего согласно (6.60), (6.88) и (6.93) для следящей нагрузки — нормального давления —

и условия (6.106) выполняются. Иначе обстоит дело с мертвой поверхностной нагрузкой (не зависящей от возмущений), для которой [см. (6.59)-(6.60)] не зависит от возмущений смещений и, стало быть, согласно (6.86), (6.87)

т.е. и условия (6.1066), вообще говоря, не выполняются. Аналогично для мертвой массовой силы

и условия (6.106а) также не выполняются.

Несколько обобщая данное в монографии В. В. Болотина [8, с. 52] определение, назовем следящей массовую силу, в каждой точке тела следующую в процессе деформации в направлении, определенном материальным волокном. Пусть направление последнего определяется до деформации вектором Положение его после деформации определяет согласно (6.44), (2.5) вектор Таким образом, следящая массовая сила имеет вид

и условия (6.106а) выполняются. Заметим, что сказанное полностью относится и к материальному волокну поверхности тела.

Рис. 6.3

Из отмеченного выше выясняется примечательная роль следящих нагрузок: для них линеаризованные уравнения равновесия и силовые (статические) граничные условия не содержат возмущений углов поворота, а записываются через компоненты линеаризованного тензора деформации.