11.5. Закон упругости

В параграфе 11.1 была установлена возможность принятия первых двух из следующих приближенных равенств:

Последнее означает принятие статической гипотезы Кирхгофа, согласно которой

т. е. основные напряжения в нормальных сечениях оболочки значительно превышают нормальные напряжения на параллельных поверхностях оболочки. Принятие соотношений (11.63) означает, что в оболочке реализуется плоское напряженное состояние.

Для сжимаемого материала имеет место согласно (6.62) и (11.13) закон упругости

Разлагая с учетом (11.13) производные от упругого потенциала в ряд по I и ограничиваясь линейными членами, находим, используя последнее из соотношений (11.63),

Здесь индексом «нуль» помечены величины, подсчитываемые на срединной поверхности (при ). Обозначим через [см. (11.13)]

значение упругого потенциала на срединной поверхности. Нетрудно видеть, что

Используя эти соотношения, а также представления (11.37), получаем из (11.65)

Из последних трех соотношений и (11.38) получаем выражения для усилий и моментов

Величины являются текущими (касательными) изгибными модулями. Входящая в выписанные выражения величина определяется из уравнения (11.67).

Для несжимаемого материала согласно (6.63), (11.13)

Исключая отсюда находим

Повторяя проделанный для сжимаемого материала вывод, получаем отсюда с учетом (11.11), (11.12) и (11.9)

Приведенные формулы можно преобразовать с помощью соотношений

выводимых из зависимостей (10.21), (10.26), (10.28). Заметим, что в соотношениях (11.72), (11.73) определяется по первой из формул (11.11).