18.3. Армирование срединной поверхности нерастяжимыми волокнами

Рассмотрим оболочку, срединная поверхность которой армирована двумя семействами нерастяжимых нитей. Материал оболочки — эластомер считаем изотропным и несжимаемым. В отличие от изложенного в параграфе 18.1 армируется лишь срединная поверхность, так что

Соотношения (18.6) необходимо заменить на следующие из них при [см. (11.12)]:

Здесь уже

компоненты тензора тангенциальной деформации.

С учетом соотношений (18.4), (18.5) и (18.11) закон упругости для несжимаемого материала (11.64) заменяется на

Поскольку последний отличается от (11.64) лишь слагаемыми, не зависящими от нетрудно проследить, что соотношения (11.80) заменяются на следующие:

Выражения для моментов (11.81) остаются без изменений. В частности, для неогуковского материала [см. (11.82)]

Напомним, что [см. (11.9)]

Возвращаясь к условиям нерастяжимости (18.12), введем с учетом соотношений (10.68) физические компоненты

Как и выше, значок означает, что физические компоненты отнесены к ортогональным материальным координатам на недеформированной срединной поверхности. Согласно рис. 10.6

С учетом выписанных соотношений условия нерастяжимости (18.12) представимы в виде системы двух уравнений

с определителем

Рассмотрим случай, когда 40. Для него из (18.18) следует

В случае же из (18.18) и (18.19) находим

Таким образом, второму случаю отвечают равнонаклоненностъ семейств армирующих волокон к координатным осям и совпадение последних с главными осями тангенциальной деформации. Соответственно, первый случай отвечает разнонаклоненным семействам волокон.

Начнем с более интересного случая равнонаклоненных семейств волокон. Для него исходя из (18.21) материальные координаты ортогональны и на деформированной срединной поверхности, и согласно (10.68) и рис.

Напомним, что значок отвечает физическим компонентам по отношению к материальным координатам, ортогональным на деформированной срединной поверхности.

Из (18.22), первого соотношения (18.16), (11.85) и (18.7) имеем

а по

Из соотношений (18.14), (18.16), (18.17) и (18.21) видно, что учет двух равнонаклоненных семейств нерастяжимых волокон сводится к заменам

и к принятию соотношений (18.25), равносильных [как нетрудно проверить с учетом равенства условиям нерастяжимости волокон (18.21). Соотношения (18.26) можно записать с учетом (11.50) и (18.24) и так:

Для случая двух разнонаклоненных семейств нерастяжимых волокон имеют место согласно (18.14) замены

Условия же нерастяжимости в направлениях армирования сводятся согласно (18.13) и (18.16) к следующим выражениям для компонент метрического тензора:

в которых выражаются через формулами