16.7. Динамический подход
Рассмотрим малые поперечные колебания продольно сжатого стержня. Учитываем лишь поперечные инерционные силы. Считаем стержень первоначально прямым, шарнирно опертым и свободным от распределенной нагрузки. С учетом сказанного находим из (16.8), (16.9), (16.2) и (16.3)
Дифференцируя по дуге третье уравнение и исключая с помощью остальных из полученного 
приходим к разрешающему уравнению
При этом прогиб 
должен удовлетворять следующим концевым условиям:
Общее решение задачи (16.56)-(16.57) ищем в виде наложения так называемых собственных колебаний
каждое из которых удовлетворяет концевым условиям. Подстановка этих выражений в разрешающее уравнение (16.56) приводит к формулам
для круговых частот собственных колебаний 
Пока все скобки положительны, 
вещественны и выражения (16.58) имеют ограниченные во времени амплитуды, определяемые начальными условиями (возмущениями). Если хотя бы одна из скобок отрицательна, отвечающие ей значения частот становятся чисто мнимыми: 
. А тогда из пары собственных колебаний (16.58), имеющих вид
амплитуда первого неограниченно растет со временем и колебания становятся неограниченными при сколь угодно малых возмущениях.
Заметим, что неограниченное возрастание амплитуды имеет место уже при равенстве скобки нулю. В самом деле, при этом
уравнение (16.56) принимает вид
и ему удовлетворяет решение
с монотонно возрастающей амплитудой.
Таким образом, коль скоро какая-либо из скобок (16.59) перестает быть положительной, решение уравнения (16.56) при сколь угодно малых возмущениях неограниченно растет во времени. 
это и означает неустойчивость положения равновесия.
Из сказанного и выражений (16.59) следует, что положение равновесия устойчиво пока 
и неустойчиво при 
т. е. при достижении сжимающей силой значения первой эйлеровой силы.
Из содержания этого и предшествующих параграфов следует, что применительно к рассматриваемой задаче использованные статические и динамический подходы дают одно и то же критическое значение сжимающей силы — первую эйлерову силу. Но так бывает далеко не всегда. Это обнаруживается уже в следующем параграфе.
