15.4. Край оболочки, подкрепленный стержнем
Рассмотрим край оболочки, подкрепленный тонким стержнем. Для простоты считаем, что граничный контур срединной поверхности можно отождествить с осью стержня (рис. 15.4).
Рис. 15.4
Из рисунка следует
Введем тензор
связанный с осью стержня и обладающий очевидными свойствами
Тензор 
переводит орты 
в орты 
стало быть, является ортогональным (см. параграф 1.4). Его уместно называть тензором поворота поперечного сечения стержня (точнее, его части, примыкающей к оси). Из (15.49) следует также
Тензор изменения кривизны оси стержня вводим соотношением
Дифференцируй по дуге Выражение (15.49), находим с учетом того, что 
и соотношений (10.3), (15.10), (15.50) и (15.51)
Используя теперь то важное обстоятельство, что стержень деформируется совместно с подкрепляемым им краем оболочки, из (15.48) и (15.49) находим
Будем считать 
т. е. в процессе деформации положение главных осей стержня относительно края оболочки не меняется. Тогда из выписанного равенства и из (11.15) следует
Поскольку 
отсюда и из (11.18), (15.52) имеем
Очевидно также
Далее, подставляя выражения (15.48) в (15.53) и сравнивая полученное соотношение с (11.21), находим
Обозначим через 
главный вектор и главный момент (подсчитываем относительно точки пересечения поперечного сечения с осью) напряжений в сечении стержня. Согласно соотношениям (15.44) (где индекс с не использовался)
Здесь с учетом соотношения (11.46) и третьего закона Ньютона
При этом величины — 
отвечают контактным воздействиям края оболочки на стержень, 
внешним воздействиям, приложенным непосредственно к стержню.
Интегрируя уравнения (15.56) по дуге оси стержня (отождествляемой с граничным контуром срединной поверхности оболочки), находим
Здесь
а 
значения главного вектора и главного момента в точке контура 
Величины
представляют собой осевую силу и компоненты момента, отвечающие внутренним напряжениям в стержне. Подставляя в последние соотношения выражения (15.57), какой-либо из вариантов (15.42), (15.26)-(15.29), (15.31), (15.32), (15.34)-(15.37) закона упругости, а также (15.54)-(15.55), получаем связь между краевыми усилиями — моментом и компонентами деформации края оболочки. При этом в получаемых описанным способом соотношениях подкрепляющий край оболочки стержень представлен лишь своими жесткостными характеристиками.
Так, для стандартного материала второго порядка [см. (15.42) и (15.29)]
