3.2. Закон упругости для изотропного материала

Рассмотрим две деформированные конфигурации (1) и (2). Переход из первой во вторую сопровождается плотностью работы напряжений

Эта работа, вообще говоря, зависит от пути деформирования, т. е. от того, как изменяется деформация при переходе от первой к второй конфигурации.

Характерным свойством упругого материала является то, что для него работа напряжений определяется начальной и конечной деформированными конфигурациями, вне зависимости от пути деформирования.

Как следует из (3.7) и (2.46), независимость интеграла (3.7) от пути деформирования влечет

где некоторая функция хомпонент тензора деформации из пары сопряженных тензоров (2.45), называемая плотностью (в расчете на единицу недеформированного объема) энергии деформации. В случае упругого материала сопряженные пары тензоров можно называть энергетическими парами тензоров. В дальнейшем будем считать, что аргументы (равные между собой) и ел входят в плотность энергии симметричным образом.

Выберем в качестве энергетического тензора деформации тензор кратности удлинений А. Тогда

и по

Отсюда и из (2.44)

В силу произвольности вариаций следует равенство нулю всех скобок

Плотность энергии деформации можно записать и так:

где углы, определяющие направление главных осей тензора кратностей удлинений.

Такая форма записи подчеркивает то обстоятельство, что накапливаемая телом энергия деформации зависит не только от значения деформации (определяемой главными кратностями удлинений но и от направления деформации. Такую зависимость от направления называют анизотропией механических свойств материала, а сам материал — анизотропным. Анизотропны многие как естественные, так и искусственные материалы (кристаллы, текстуры, древесина и т. п.).

Существуют и широко используются материалы, анизотропией механических свойств которых можно пренебречь ввиду ее малости. Такие материалы называют изотропными. Примером могут служить поликристаллические металлы, стекло, резины и т. п. Для изотропных материалов

и, стало быть, применимо сказанное в параграфе 3.1 относительно квазиградиентальных функций. Так, из (3.10) следует

или после скалярного умножения слева на

В главных осях тензора согласно (2.8), (2.11), (3.3) и (1.18)

Отсюда и из (2.15) усматривается, что для изотропного упругого материала тензор напряжений соосен с тензором деформации

Для изотропного упругого материала замена должна в силу равноправности осей, влечь за собой замену Из (3.11), (3.13) при этом усматривается, что должна симметричным образом зависеть от своих аргументов. Этому требованию удовлетворяет

где

При этом согласно (3.13), (3.6) и (3.5)

Скалярно умножая это равенство слева на и используя (2.14), получаем

Часто употребляются тензоры деформации (меры деформации Для них соотношения переходят в следующие:

В частности, для тензора кратности удлинений А и Коши

Введем в рассмотрение тензоры

Считая для простоты, что главные оси тензоров не поворачиваются постоянные), имеем согласно (3.12), (3.6)

Отсюда и находим

Это равенство может быть получено и для подвижных главных осей.

Согласно равенствам (3.8) и (2.46) из последнего соотношения следует, что величины (3.23) можно рассматривать как пары обобщенная сила — обобщенное смещение. Поэтому пары величин (3.23) можно называть энергетическими парами: энергетический тензор напряжений — энергетический тензор деформации (выше эти термины фактически уже использовались).

В параграфе 2.5, где не предполагались изотропия и упругость материала, было введено пять пар сопряженных тензоров. Из (3.23) усматривается, что для изотропного упругого материала число сопряженных пар — теперь энергетических — неизмеримо возрастает. Нетрудно видеть, что четыре из пяти пар (2.45) входят в множество (3.23). Можно показать, что для изотропного упругого материала тензор в (2.45) можно заменить на

Из (3.24) следует

Отсюда и из (3.3), (3.23)

т. е. энергетические тензоры связаны градиентной зависимостью.