10.3. Линии на поверхности

С линией на поверхности (рис. 10.3) свяжем тройку ортов: орт касательной к кривой, орт нормали к поверхности, орт тангенциальной нормали (нормали к кривой, лежащей в касательной плоскости). Очевидно, что

Далее с учетом (10.10)

т. е.

Рис. 10.3

Согласно же (10.45), (10.27)

Отсюда следует первая из следующих выводимых аналогично формул

С учетом полученных формул и (10.38) введем

производные вдоль касательной и тангенциальной нормали.

По аналогии с (10.3) запишем правило дифференцирования введенных ортов в виде

Отсюда с учетом равенств (10.46), (10.47), (10.49), (10.24) находим

Таким образом,

Второе и третье соотношения выводятся аналогично.

Для выяснения геометрического смысла этих величин сравним (10.50) с формулами Серре-Френе (10,5). Так

Из рис. 10.4 усматривается связь между введенными ортами и ортами главной нормали и бинормали кривой:

Отсюда и из (10.52) следует

Из (10.52) усматривается, что величина называемая геодезической кривизной, характеризует отклонение главной нормали кривой на поверхности от нормали к поверхности. Кривую же на поверхности, в точках которой называют геодезической кривой. На ней по (10.52)

т. е. с точностью до знака, пространственная кривизна кривой совпадает с нормальной кривизной поверхности Поясним последний термин. Для этого в рассматриваемой точке кривой проведем плоскость через нормаль к поверхности и касательную к кривой. Она пересечет поверхность по плоской кривой — так называемому нормальному сечению поверхности. Для него (в рассматриваемой точке) очевидно выполняется условие (10.55). Таким образом, нормальная кривизна есть кривизна нормального сечения поверхности. Величину называют геодезическим кручением.

Рис. 10.4

Величины связывались нами с кривой на поверхности. Из выражений (10.51) усматривается, что первые две зависят по существу не от конкретного вида кривой, а лишь от ее направления в данной точке, определяемого величинами Поэтому правильнее говорить о нормальной кривизне и геодезическом кручении поверхности в данном направлении.

Аналогично можно рассмотреть направление тангенциальной нормали. При этом

Формулы (10.51) и (10.56) показывают, что величины определяют нормальную кривизну в произвольном направлении. Поэтому их и называют (ковариантными) компонентами тензора кривизны поверхности.

Выпишем выражения

справедливость которых проверяется скалярным умножением на Отсюда и из (10.48) следуют полезные соотношения

Получим, например, последнее выражение

Рис. 10.5

Согласно (10.49), (10.50), (10.45) и (10.34)

Отсюда и вытекает первое из следующих выводимых аналогично соотношений

Нетрудно видеть, что в принятой в этом параграфе системе координат формулы (6.25), (6.23) принимают вид (рис. 10.5)

Здесь рассматривается нормальное сечение оболочки. При этом индексом помечены величины, отнесенные к элементарной площадке, находящейся на расстоянии от срединной линии (рис. 10.5).

Ниже нам понадобятся формулы Грина, приведенные в работе [58, ч. II],

Здесь граничный контур области поверхности, проходимый в положительном направлении (так, чтобы область оставалась слева по ходу).

Вернемся к равенству определяющему геодезическую линию, и выпишем условия геодезичности линии. Прежде всего для -линии имеем согласно (10.48), (10.47), (10.26)

При этом из (10.51) условие геодезичности записывается в виде Отсюда и следует первое из выводимых аналогично условий геодезичности координатных линий: