1.3. Каноническое представление тензора

Операция комплексного сопряжения над характеристическим уравнением (1.15) приводит, с учетом вещественности инвариантов, к соотношению

показывающему, что наряду с характеристическому уравнению удовлетворяет и Поэтому для корней кубического уравнения

(1.15) имеются лишь две возможности: а) все главные значений вещественны; б) два главных значения комплексно сопряжены, а третье вещественно.

Будем считать вначале, что все главные значения различны (некратны). Подставляя их в равенство (1.12), получаем

Покажем, что главные векторы линейно независимы, т. е. соотношение

не может выполняться при постоянных не равных нулю одновременно. Скалярно умножая это векторное равенство слева на а затем еще раз на получаем, используя (1.20),

Определитель системы

отличен от нуля в силу предположенной некратности главных значений. Отсюда следует, что равенство (1.21а) выполняется лишь при . А это и означает линейную независимость главных векторов.

Как известно, линейная независимость означает, что рассматриваемые главные векторы не лежат в одной плоскости; поэтому их можно принять в качестве векторного базиса. Пусть Тогда по (1.20) и (1.18)

Скалярно умножим первое уравнение слева на а, второе справа — на и вычтем из первого второе. В результате получим полезное соотношение

Рассмотрим симметричный тензор, для которого (по определению)

Для него при из соотношения (1.23) следует а т. е. имеет место ортогональность главных векторов. Из (1.20) усматривается, что последние определяются с точностью до скалярных множителей. Поэтому можно считать главные векторы не только взаимно ортогональными, но и единичными, т. е. ортами.

Далее из находим

Левая часть этого равенства

вещественна, а значит, вещественны и главные значения. Из (1.13) при этом следует вещественность главных векторов

Заменим обозначения а на и будем называть главным векторным базисом тензора. Выше была установлена его ортонормированность. Если компоненты тензора зависят от координат, главный векторный базис может поворачиваться при переходе от точки к точке.

Рис. 1.1

Из формул (1.20), (1.7), (1.1) непосредственно усматривается, что в своем главном векторном базисе или, как говорят, в своих главных осях симметричный тензор имеет так называемый канонический вид:

Выше мы предположили некратность главных значений. Теперь можно отказаться от этого ограничения. Так,

Для наглядности с симметричным тензором сопоставляют трехосный эллипсоид (рис. 1.1). При он становится эллипсоидом вращения. Поэтому тензор (1.256) называют тензором вращения. При эллипсоид переходит в шар, и тензор (1.25в) называют шаровым.

Итак, симметричному тензору отвечает случай а) вещественных корней. На долю несимметричных тензоров остается случай б) комплексно-сопряженных корней

( вещественны). Поскольку комплексно сопряжены, таковыми же являются определяемые из (1.13) главные векторы Внося в выражения (1.26)

и разделяя вещественные и мнимые части, приходим к вещественным зависимостям:

Как и в случае а), показывается, что главные векторы можно считать ортами. Заменяя, как и выше, обозначения на усматриваем из (1.27), (1.7) и (1.1) каноническое представление несимметричного тензора

Кососимметричным (антисимметричным) называют тензор со следующим определяющим свойством:

Согласно (1.28) ему отвечает каноническое представление

Ортогональным называют тензор с определяющими свойствами:

где

единичный тензор, обладающий [как нетрудно проверить с помощью соотношений (1.9), (1.1)] свойством

Согласно представлениям (1.28) и (1.1)

Отсюда и из соотношений (1.31), (1.32) следует

Поэтому различают ортогональный тензор первого рода

и ортогональный тензор второго рода

Для невырожденного тензора (т. е. тензора с можно ввести обратный тензор, определяемый соотношением

и удовлетворяющий следующему соотношению:

Справедливость последнего можно проверить, умножая скалярно левую и правую части на и учитывая (1.35).

Сопоставление зависимостей (1.31) и (1.35) приводит к Характерному для ортогонального тензора равенству

Отметим часто используемое свойство тензоров: свертка (двойное скалярное произведение) симметричного и кососимметричного тензоров равна нулю. Покажем это. Пусть симметричный, а кососимметричный тензор. Тогда с учетом (1.1), (1.9) и определения симметричного и кососимметричного тензоров