16.17. Условия консервативности при нормальном давлении

В параграфе 16.8 приводился пример неконсервативности следящих нагрузок. Последние могут быть консервативными лишь при выполнении некоторых специальных условий. Получим

эти условия для практически наиболее важного вида следящей нагрузки — нормального давления.

Прежде всего, возмущая выражения (6.60), находим с учетом равенств (6.87), (6.93)

Массовые силы будем считать «мертвым и». Тогда условия консервативности внешней нагрузки (6.99) записываются с учетом (6.49) в виде

Введем систему координат, в которой граница деформированного тела является координатной поверхностью а I — длина, отсчитываемая по внешней нормали от поверхности тела. При этом

возмущение точек поверхности по нормали к ней. Во введенной системе координат

Рассмотрим важный случай, когда и на каждой части нормальное давление постоянно При этом по формуле Грина (10.60) получаем (рис. 16.16)

где возмущение точек контура в направлении тангенциальной нормали (нормали к контуру, касательной к поверхности)

Следуя совету В. В. Новожилова, автор рассмотрел (рис. 16.17) трехмерный аналог задачи Бекка (см. параграф 16.8). При этом будем считать боковую поверхность цилиндра свободной от напряжений: Нижний торец считаем заделанным по его контуру, так что на Сжимающую осевую нагрузку (силу) создает нормальное давление на верхнем торце.

Рис. 16.16

Рис. 16.17

С учетом сказанного из (16.108) следует условие

не выполняющееся при произвольных Таким образом, трехмерный аналог, как и собственно задача Бекка, являются несамосопряженными.

Нетрудно видеть, что при всесторонне равномерном давлении отсутствует) и заделке нижнего основания условие консервативности внешней нагрузки выполняется и задача самосопряжена.