16.17. Условия консервативности при нормальном давлении
В параграфе 16.8 приводился пример неконсервативности следящих нагрузок. Последние могут быть консервативными лишь при выполнении некоторых специальных условий. Получим
эти условия для практически наиболее важного вида следящей нагрузки — нормального давления.
Прежде всего, возмущая выражения (6.60), находим с учетом равенств (6.87), (6.93)
Массовые силы будем считать «мертвым и». Тогда условия консервативности внешней нагрузки (6.99) записываются с учетом (6.49) в виде
Введем систему координат, в которой граница деформированного тела является координатной поверхностью
а I — длина, отсчитываемая по внешней нормали от поверхности тела. При этом
возмущение точек поверхности по нормали к ней. Во введенной системе координат
Рассмотрим важный случай, когда
и на каждой части нормальное давление постоянно
При этом по формуле Грина (10.60) получаем (рис. 16.16)
где
возмущение точек контура в направлении тангенциальной нормали (нормали к контуру, касательной к поверхности)
Следуя совету В. В. Новожилова, автор рассмотрел (рис. 16.17) трехмерный аналог задачи Бекка (см. параграф 16.8). При этом будем считать боковую поверхность цилиндра
свободной от напряжений:
Нижний торец считаем заделанным по его контуру, так что на
Сжимающую осевую нагрузку (силу) создает нормальное давление
на верхнем торце.
Рис. 16.16
Рис. 16.17
С учетом сказанного из (16.108) следует условие
не выполняющееся при произвольных
Таким образом, трехмерный аналог, как и собственно задача Бекка, являются несамосопряженными.
Нетрудно видеть, что при всесторонне равномерном давлении
отсутствует) и заделке нижнего основания условие консервативности внешней нагрузки выполняется и задача самосопряжена.