8.2. Использование тензора деформации Коши-Лагранжа

К наиболее простым соотношениям приводит использование тензора деформации Коши-Лагранжа . Прежде всего, используя соотношения (8.4), (4.4), находим

Отсюда и из (4.10)

Используя еще раз зависимости (4.4), (8.4), (8.8), подсчитываем

А теперь по соотношениям (4.30), (8.4), (8.9)-(8.10) находим

С учетом того, что входящие сюда величины не зависят от получаем из (4.20), (4.25), (4.27), (8.11), (8.2) уравнения равновесия

статические граничные условия

деформационное граничное условие

(Второе деформационное условие в полном соответствии с (8.2а) сводится к подобному увеличению контура.)

Выписанные соотношения позволяют сформулировать краевые задачи для разрешающей функции Отметим, что в общем случае задача переопределена, поскольку искомая комплексная функция или, что то же, две вещественные функции должны удовлетворять трем вещественным уравнениям и трем вещественным граничным условиям (8.13). Так что, вообще говоря, сформулированная с помощью соотношений (8.12)-(8.14) задача имеет решение не всегда.

В тех случаях, когда решение задачи все же есть, с помощью соотношений (4.4), (8.11) и (8.4) находим для тензора истинных напряжений

Для перехода к несжимаемому материалу следует согласно (3.40) в выписанных выше соотношениях провести замену

Дополнительная вещественная функция снимает оговоренную выше переопределенность задачи.

Что касается X, то она связана с осевой силой соотношением (4.29)