13.4. Сферический вытеснитель

Пусть резиновая сферическая оболочка находится в жестком (металлическом) сферическом сосуде. Внешний радиус оболочки (мы его отождествляем в силу тонкостенности оболочки с радиусом срединной поверхности) совпадает с внутренним радиусом металлического сосуда (рис. 13.8). В нижней части сосуда (под оболочкой) находится газ при исходном давлении прижимающем оболочку к стенкам сосуда. Верхняя часть соединена с трубопроводом, находящимся под давлением

Описанную конструкцию называют вытеснителем. Вытеснитель (обычно их несколько) служит для гашения повышения давления в трубопроводах низкого давления. При повышении давления в трубопроводе оболочка прогибается, уменьшая объем нижней части сосуда, что приводит к увеличению давления газа, сдерживающему дальнейшее выворачивание оболочки. При этом, если объем нижней части оболочки в исходной и текущей конфигурациях, для идеального газа при изотермическом сжатии перепад давления на участке вне зоны контакта подсчитывается по формуле

Считаем, что в зоне контакта трение между оболочкой и поверхностью, а также достаточно велики, так что оболочка не проскальзывает и не деформируется. В точке отрыва (положение которой заранее не известно) имеют место граничные условия для свободного от контакта участка

Последнее условие означает, что в точке отрыва кривизна меридиана оболочки совпадает с кривизной внутренней поверхности сосуда. Как и в предыдущем параграфе, «лишнее» — последнее в (13.35) — граничное условие может быть удовлетворено, поскольку появляется неизвестный параметр — положение точки отрыва

Задача о квазистатическом расчете сферического вытеснителя была решена С. А. Кабрицем. Построение решения было осуществлено на основе сочетания метода продолжения по параметру, квазилинеаризации Ньютона-Канторовича и ортогональной прогонки.

Рис. 13.8

Рис. 13.9

На рис. 13.9 приведены зависимости максимальных значений напряжений, реализующихся в точках максимального изгиба (рис. 13.8), от прогиба полюса оболочки.

Другой крайний случай, когда трением можно пренебречь, т. е. считать, что оболочка может свободно скользить по поверхности сосуда, рассмотрен С. А. Кабрицем [25].