Глава 12. АРКА-ПОЛОСКА

Рассмотрение конкретных классов оболочек начнем с простейшего — так называемой арки-полоски.

12.1. Основные зависимости

Цилиндрическую пластину отнесем к материальным координатам (рис. 12.1)

Будем считать

рассматривая тем самым одномерную, не зависящую от деформацию пластины, получающей вместе с тем равномерное продольное растяжение с кратностью удлинения Такую деформацию можно было бы назвать обобщенной плоской.

Поскольку напряженно-деформированное состояние не зависит от можно считать, что мы имеем дело с цилиндрической пластиной единичной (по ширины. Этим и оправдывается используемый ниже термин «арка-полоска».

Рис. 12.1

Рис. 12.2

Рис. 12.3

Из рис. 12.2 усматривается

Из аналогичного рисунка для деформированной конфигурации следует

где кратность удлинения дуги поперечного сечения срединной поверхности пластины. С учетом полученных зависимостей находим из

Одномерная обобщенная плоская деформация цилиндрической пластины является частным случаем рассмотренного в параграфе 11.7. Поэтому можно переписать полученные там зависимости, используя более удобные обозначения:

Так, уравнения движения (11.92) принимают вид

В соответствии с рис. 12.3 введем величины

с помощью которых первые два из уравнений (12.4) преобразуются к виду

Для равномерного нормального давления

и по

а с учетом (12.5), (12.1), (12.7)

Но по

Сопоставление двух последних выражений дает

Таким образом, в рассматриваемом случае усилия и моменты связаны алгебраическими соотношениями с координатами деформированной арки-полоски. Квадратуры (12.7), (12.8) были получены . Колпаком.

Рассмотрим силы инерции. Поскольку из (11.61) следует

соотношений (12.2) и (11.86) имеем

Согласно (11.97), (11.98), (12.3) для трехконстантного несжимаемого материала

При этом по (11.94) и (12.2)

По-видимому, всегда можно приближенно принять

Наконец, согласно (11.99), (11.100) и (12.3)