Глава 3. ЗАКОН УПРУГОСТИ
В этой главе дается вывод закона упругости с учетом больших деформаций. Рассмотрен случай внутренних связей. При этом большое внимание уделяется практически наиболее важному виду внутренних связей — условию несжимаемости.
3.1. Град ментальные и квазиградиентальные функции симметричного тензора
Рассмотрим симметричный тензор А с главным векторным базисом
в котором имеется каноническое представление (1.25):
С учетом (1.9), (1.1) находим отсюда
Добавим сюда единичный тензор (1.32):
Нетрудно проверить, что при некратных главных значениях
Таким образом, классические тензорные функции (1.42) симметричного тензора-аргумента имеют вид
Рассмотрим тензорные функции более общего вида. Пусть
некий инвариант тензора А. Рассмотрим величины
При переходе к новым
штрихом) координатам имеем согласно
Поэтому с учетом известного правила дифференцирования сложных функций
Отсюда и из (1.8) следует, что величины
являются компонентами тензора
который будем называть градиентной тензорной функцией.
В главном векторном базисе тензора
и
Последовательно принимая в качестве инварианта
главные значения
получаем
Согласно же (1.11)
Отсюда и из (3.3), (3.4) получаем по правилу дифференцирования сложной функции
Из (3.3) и (3.1) усматривается, что рассмотренные в гл. 1 классические тензорные функции симметричного тензора являются частным видом градиентальной функции, отвечающей
С учетом выражений (3.1) и (3.3) можно ввести в рассмотрение и более общие квазиградиентальные тензорные функции симметричного тензора:
Отметим, что все три рассмотренные типы тензорных функций симметричного тензора А соосны ему.