Глава 3. ЗАКОН УПРУГОСТИ

В этой главе дается вывод закона упругости с учетом больших деформаций. Рассмотрен случай внутренних связей. При этом большое внимание уделяется практически наиболее важному виду внутренних связей — условию несжимаемости.

3.1. Град ментальные и квазиградиентальные функции симметричного тензора

Рассмотрим симметричный тензор А с главным векторным базисом в котором имеется каноническое представление (1.25):

С учетом (1.9), (1.1) находим отсюда

Добавим сюда единичный тензор (1.32):

Нетрудно проверить, что при некратных главных значениях

Таким образом, классические тензорные функции (1.42) симметричного тензора-аргумента имеют вид

Рассмотрим тензорные функции более общего вида. Пусть некий инвариант тензора А. Рассмотрим величины При переходе к новым штрихом) координатам имеем согласно Поэтому с учетом известного правила дифференцирования сложных функций

Отсюда и из (1.8) следует, что величины являются компонентами тензора

который будем называть градиентной тензорной функцией.

В главном векторном базисе тензора и

Последовательно принимая в качестве инварианта главные значения получаем

Согласно же (1.11)

Отсюда и из (3.3), (3.4) получаем по правилу дифференцирования сложной функции

Из (3.3) и (3.1) усматривается, что рассмотренные в гл. 1 классические тензорные функции симметричного тензора являются частным видом градиентальной функции, отвечающей

С учетом выражений (3.1) и (3.3) можно ввести в рассмотрение и более общие квазиградиентальные тензорные функции симметричного тензора:

Отметим, что все три рассмотренные типы тензорных функций симметричного тензора А соосны ему.