Глава 13. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

В этой главе рассматриваются наиболее часто используемые в приложениях осесимметрично деформируемые оболочки вращения.

13.1. Основные зависимости

При осесимметричной деформации оболочка вращения переходит опять же в оболочку вращения. В качестве материальных координат примем (рис. 13.1) длину дуги меридиана и угол недеформированной срединной поверхности. При этом

В силу предположенной осесимметричности деформации

Из рис. 13.2 находим

Пусть главные кратности удлинений вдоль меридиана и окружного направления. Из рис. 13.1 следует

Используя эти зависимости, а также составленный для деформированной конфигурации рисунок, аналогичный рис. 13.2, получаем по аналогии с (13.1)

Рис. 13.1

Рис. 13.2]

Рис. 13.3

С учетом полученных соотношений подсчитываем по формулам (10.40), (11.83)-(11.90)

Введем более удобные обозначения

При этом согласно (13.4) и (11.36)

В рамках принятой точности можно при необходимости считать

Положительные направления нормальных усилий изгибающих моментов и перерезывающих усилий показаны на рис. 13.3. Переобозначая физические компоненты напряжений

имеем согласно (11.99), (11.100)

где

Для несжимаемого материала согласно (11.96)

Для изотропного несжимаемого трехконстантного материала имеем согласно (11.97), (11.98)

С учетом соотношений (13.5), (13.7) уравнения движения (11.92) для осесимметричной деформации записываются в виде

Умножим первое из этих уравнений на второе — на и сложим. Интегрирование полученного уравнения приводит к квадратуре

Умножая полученное равенство на усматриваем на рис. 13.4, что левая его часть представляет собой вертикальную силу, действующую на параллельный круг (напомним еще раз, что введенные нами усилия и моменты отнесены к единице длины недефоржированного контура). Интеграл является вертикальной силой, отвечающей поверхностной нагрузке в поясе Постоянная вертикальная сила на круге Таким образом, конечное (недифференциальное) соотношение (13.16) является условием равенства нулю осевой составляющей главного вектора всех сил, действующих на рассматриваемый пояс деформированной срединной поверхности оболочки.

Рис. 13.4

Для равномерного давления

и согласно (13.2), (13.3)

Теперь по (13.16)

Рассмотрим силы инерции. Из рис. 13.4 следует

Кроме того, для радиуса-вектора имеем Из полученных выражений, а также формул (11.61), (13.4) и (13.5)

Вернемся к формулам (13.1)-(13.3). С их помощью получаем следующие полезные соотношения:

Нетрудно подсчитать, что при заданном в выписанную разрешающую систему 14 уравнений входят 14 искомых величин: При этом второе из уравнений (13.15) можно заменить на квадратуру (13.16) [см. (13.18)], а вместо соотношений (13.8) использовать (13.9).

К выписанной разрешающей системе уравнений шестого порядка необходимо присоединить шесть краевых условий. Ограничимся случаем, когда на каждом из краев оболочки, задано по три условия следующих видов :

а) заделка

б) скользящая заделка

в) шарнир

г) скользящий шарнир

В выписанных соотношениях -осадка рассматриваемого края. С учетом формул (13.1), (13.3), (13.6), (13.7) находим из (11.25),

Отсюда условия жесткого края (11.27) записываются в виде

и входят составной частью в условия заделки (13.20) и скользящей заделки (13.21). Как уже говорилось в параграфе 11.2, особенностью условий жесткого края (как и других деформационных граничных условий) является то, что они формулируются в терминах компонент деформации. Согласно (13.24) эта запись имеет вид