10.4. Ортогональные координаты. Физические компоненты

Считая координаты ортогональными, введем координатные орты

В силу ортогональности системы координат на поверхности имеем с учетом (10.20), (10.21)

Согласно (10.31) отличны от нуля следующие символы Кристоффеля:

Из соотношений (10.62), (10.63) и (10.24) находим

С помощью этих выражений вектор (10.37) записывается в виде

где

так называемые физические компоненты вектора. Физическими их называют, поскольку они являются компонентами в разложении вектора по единичным векторам (ортам) и имеют ту же физическую размерность, что и сам вектор. Аналогично вводятся и физические компоненты тензоров

Рис. 10.6

Компоненты, отвечающие единичному вектору например в разложении (10.66), сами по себе физические. Согласно рис. 10.6 и соотношениям (10.67), (10.49)

В ортогональных координатах более употребительны обозначения

где радиусы-кривизны соответствующих нормальных сечений поверхности. Теперь из зависимостей (10.51), (10.56), (10.67)-(10.69) следует

Как и всякий симметричный тензор второго ранга (см. параграф 1.3), тензор кривизны поверхности имеет взаимно ортогональные главные направления, в которых

Отсюда следует, что в заданной ортогональной системе координат главные направления кривизны определяются формулой

Линией кривизны называют кривую поверхности, касательная к которой в каждой ее точке следует главному направлению кривизны поверхности. Если в качестве координатных приняты линии кривизны, то

а величины при этом называют главными радиусами кривизны. Выражения (10.72) позволяют проверить наличие у тензоров двух инвариантов: средней кривизны

и гауссовой кривизны

Особенно важен второй инвариант. В зависимости от знака гауссовой кривизны точки поверхности относят к трем типам: эллиптические параболические и гиперболические Вид окрестностей перечисленных типов точек показан на рис. 10.7. Поверхность, имеющую лишь эллиптические точки, называют поверхностью положительной (гауссовой) кривизны, параболические — нулевой и гиперболические — отрицательной кривизны.

Важную роль в теории поверхностей (оболочек) играют асимптотические направления, в которых равна нулю нормальная кривизна, т. е.

Линию, касательная к которой в каждой своей точке следует асимптотическому направлению, называют асимптотической. Пусть координатные линии являются линиями кривизны. Тогда из (10.75), (10.74) и (10.72)

Отсюда следует, что асимптотические направления существуют, если только имеют разные знаки.

Рис. 10.7

Поэтому в эллиптических точках поверхности асимптотические направления отсутствуют. В гиперболической точке имеются два асимптотических направления, которым отвечают

Отсюда следует, что главные направления делят угол между асимптотическими направлениями пополам. В параболической точке одна из главных кривизн обращается в нуль. Пусть, для определенности, Тогда из (10.76) следует т. е. оба асимптотических направления совпадают с главным, имеющим нулевую нормальную кривизну.

Выражение (10.51) для геодезической кривизны преобразуется с учетом (10.64), (10.69), (10.70) к виду

Полагая здесь получаем из равенства условия геодезичности ортогональных координатных линий

Наконец, из соотношений (10.44), (10.63), (10.64) следуют соотношения Кодацци-Гаусса