16.11. Потеря устойчивости при растяжении стержня

Не следует думать, что потеря устойчивости стержня может быть лишь при его сжатии. Покажем, следуя Циглеру [56, стр. 77], что под действием растягивающей силы (рис. 16.10) стержень может потерять устойчивость — выпучиться.

Итак, пусть стержень, шарнирно опертый на нижней опоре, растягивается через жесткий стержень длиной а, касательный к оси стержня на верхней опоре (рис. 16.10).

Рис. 16.9

Рис. 16.10

Рис. 16.11

При этом

Согласно формулам (16.8), (16.9), (16.6) при имеем

Дифференцируя первое уравнение и используя второе, приходим к а зреша ющему в нению

с общим решением

К очевидным концевым условиям

добавим следующее из рис. 16.10

Но согласно (16.6) и (16.28)

Сопоставление полученных выражений приводит к четвертому концевому условию

Подчинение общего решения (16.76) концевым условиям (16.77) приводит к выражению

Его подстановка в четвертое концевое условие (16.78) приводит к характеристическому уравнению

На рис. 16.11 показано, что это трансцендентное уравнение имеет единственное нетривиальное (ненулевое) решение, зависящее от На. При а I прямая на рис. 16.11 направлена к оси абсцисс под малым углом, так что тогда из (16.79) следует На На и

Таким образом, при критическое значение быстро растет и в пределе т. е. следует привычный вывод: стержень при растяжении устойчивости не теряет.